Analiticidad de una función compleja

Question

Hola, buenas tardes. ¿Cómo podría demostrar los puntos donde es analítica la función $Log(z + 10)$? Espero la gran ayuda de alguien. Gracias.

Comments

Hola Mario. Conoces las ecuaciones de Cauchy-Riemann en forma polar? Los puntos donde estas se satisfagan es donde tu función es analítica.

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Si las conozco. Sea z = x + iy. Entonces

Log(z + 10)
= Log[(x + 10) + iy)]
= ln|x + 10 + iy| + iARG(x + 10 + iy)

No entiendo como puedo usar la forma polar. Si fuera Log(z) es inmediato cambiando z = e^(i\tetha).

Answer 1

A ver, la función $\log(z)$ es analítica en todo $\mathbb{C}$, salvo en el conjunto $\{x+iy| x\geq0, y=0\}$. Como la composición de funciones analíticas es analítica, y la función $g(z)=z+10$ es analítica en todo $\mathbb{C}$, entonces $\log(z+10)$ será analítica en todo $\mathbb{C}$ salvo en el conjunto $\{x+iy| x\geq-10, y=0\}$.