Dado un camino bueno $C$ de $(0,0)$ a $(m,n)$ vamos a definir cuales cuadros de la cuadrícula están "debajo" del camino: conectamos los puntos $(0,0), (0,-1/2), (m+1/2,-1/2), (m+1/2,n), (m,n)$ en ese orden con una poligonal $P$; como $C$ es bueno, $P$ junto con $C$ forman una curva cerrada simple y decimos que los cuadros que estén adentro de esa curva están "debajo" de $C$.
Ahora, dos caminos distintos $C$ y $C'$ tienen distintos conjuntos de cuadritos por debajo (porque dado el conjunto de cuadros, podemos recuperar el camino como la frontera de la figura que forman) así que el número de caminos es a lo más el número de subconjuntos de los $mn$ cuadros de la cuadrícula.