Igualdad de integral de funciones medibles

Question

Sea $(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$ espacio de medida. Sean $f, g:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ funciones medibles y sea $A=\{ \omega \in \Omega | f(\omega ) \neq g(\omega) \}$. Probar que si $\mu (A) = 0$ entonces $ \int f d \mu = \int g d \mu$.

Comments

$\Omega=A\cup \Omega\setminus A$.  Entonces $\int_\Omega  f d \mu=\int_{\Omega\setminus  A} f d \mu +\int_A  f d \mu=....$

Answer 1

Quizá hay que suponer además que $f$ y $g$ son integrables. También sirve de mucho el resultado que dice: siendo $h\ge0$ una función medible y $N$ un subconjunto medible de medida cero, entonces $\int_Nh=0$. Otro resultado que se usa es la desigualdad que dice así: si $h$ es una función medible integrable, entonces $|\int h|\le\int|h|$. Por supuesto, hay que conocer las propiedades de linealidad de la integral. Así, con la notación de tu pregunta, se tiene

$|\int f-\int g|=|\int(f-g)|\le\int|f-g|=\int_A|f-g|+\int_{\Omega\backslash A}|f-g|=0+0=0$.

Se sigue lo que quieres probar.