Hola a todos:
Encontremos la cantidad de triángulos, de lados enteros, cuyo lado mayor tiene longitud $n$. Si los otros dos lados son $a \le b \le n$, entonces se deberá cumplir que $a + b > n$. Más aún, por la desigualdad del triángulo, esto basta para que haya un triángulo de lados $(a, b, n)$. Como $a\le b$ se deberá cumplir que
$n < a + b \le 2b$
es decir, $b > \dfrac{n}{2}$. Para cada valor de $b$ entre $ \dfrac{n}{2}$ y $n$, $a$ podrá tomar cualquier valor en el rango $n - b < a \le b$ (la primera desigualdad para que se cumpla la desigualdad del triángulo). Así que, tendrá $2b - n$ valores posibles. Observemos que cuando $b = n$, esta cantidad de valores es $n$, y conforme el valor de b se reduce en $1$, la cantidad de triángulos lo hace en $2$.
El párrafo anterior indica que la cantidad de parejas $(a, b)$ que hay que contar es $n + n - 2 + ... + 2$ en caso de que n sea par, o bien $n + n -2 + ... + 1$ en caso de que sea impar. Es decir, si $T_n$ denota a la cantidad de triángulos de lados enteros cuyo lado mayor es $n$, entonces si $ n = 2k$,
$T_{2k} = 2k + 2(k - 1) + ... + 2 = k(k + 1)$,
y si $n = 2k - 1$ entonces
$T_{2k -1} = 2k-1 + (2k - 3) + ... + 1 = k^2.$
Ahora, sea $X_n$ la cantidad de triángulos con lados entre $1, ..., n$. Es claro que
$X_n = X_{n-1} + T_n = X_{n - 2} + T_{n -1} + T_n,$
así que podemos introducir una recurrencia para los casos pares y otra para los casos impares (lo hacemos de esta forma porque $T_n$ cambia de acuerdo a si $n$ es par o impar).
Primer caso: n par.
Sea $Y_k = X_{2k} = Y_{2k - 2} + T_{2k-1} + T_{2k}$, entonces
\begin{align*}
Y_k &= Y_{k - 1} + k^2 + k(k + 1)\\
&= Y_{k - 1} + 2k^2 + k.
\end{align*}
De aquí se obtiene, al iterar esta recurrencia que,
$Y_k = Y_1 + 2(k^2 + ... 2^2) + (k + ... + 2).$
Además, $Y_1$ representa la cantidad de triángulos con lados de tamaño $1$ o $2$, que claramente son los dos equiláteros y el de lados $(2, 2, 1)$. Así que $Y_1 = 3$. Por lo tanto,
\begin{align*}
Y_k &= 3 + 2(k^2 + ... + 2^2) + (k + ... + 2)\\
&= 2(k^2 + ...+ 1) + (k + ... + 1)\\
&= \dfrac{k(k+1)(2k+1)}{3} + \dfrac{k(k + 1)}{2}\\
&= \dfrac{k(k + 1)(4k + 5)}{6}
\end{align*}
Segundo caso: n impar.
Ahora tenemos que si $Y_k = X_{2k - 1} = X_{2k - 3} + T_{2k -2} + T_{2k - 1}$, entonces
\begin{align*}
Y_k &= Y_{k - 1} + (k -1)k + k^2\\
&= Y_{k - 1} + 2k^2 - k.
\end{align*}
Así que, para resolver este caso, sólo hay que repetir la misma cuenta que el primer caso pero cambiando un signo. Es decir,
$Y_k = Y_1 + 2(k^2 + ... 2^2) - (k + ... + 2).$
Y, utilizando que $Y_1 = 1 = 2 - 1$, tenemos que
\begin{align*}
Y_k &= + 2(k^2 + ... + 2^2) + 2 - (k + ... + 2) - 1\\
&= 2(k^2 + ...+ 1) - (k + ... + 1)\\
&= \dfrac{k(k+1)(2k+1)}{3} - \dfrac{k(k + 1)}{2}\\
&= \dfrac{k(k + 1)(4k - 1)}{6}
\end{align*}
En conclusión, tenemos que la cantidad de triángulos $X_n$ buscada está dada por
$X_{2k} = \dfrac{k(k + 1)(4k + 5)}{6},$
y
$X_{2k - 1} = \dfrac{k(k + 1)(4k - 1)}{6}. $
