Hola a todos:
Paa empezar imaginemos que tenemos el tetraedro y lo cortamos por los lados llevan al pico de la piramide para que nos quede una figura plana (como esas de papel para construir en las tareas...). Cuando hacemos eso, en cada vértice el triángulo de la base sehan agregado dos ángulos, uno a cada lado, cuya suma es 180°. Esto es porque las caras de la pirámide eran todas iguales, así que en cada pico se juntan los tres ángulos distintos del triángulo. Por lo tanto, nuestra figura plana es realmente un triángulo, con el triángulo de la base ABC inscrito en él. Además, está inscrito como el triángulo medial pues los lados que se desprenden de cada vértice de la base son iguales (pues vienen del mismo lado de la pirámide).
Esto me lleva a decir, para empezar que el triángulo no puede ser obtusángulo, pues al girar las caras de la pirámide con ejes en los lados de la base, los vértices que se uniran en el pico deben girar en círculos que se intersectan (¡precisamente en el pico!). Pero estos triángulos giran sobre círculos que tienen por diámetro las alturas y que son perpendiculares al plano de la base. Como estos círculos tienen por diámetro las alturas y el ortocentro en este caso esta en las prolongaciones, los círculos no alcanzan a tocarse, pues de hacerlo la proyeccion de los círculos (¡las alturas!) deberían chocar entre si dentro de las alturas, no fuera y esto no ocurre.
Ahora vayamos a la solución. Está un poco enredada, pero espero haber logrado escribirla claramente:
Consideremos un triángulo $A'B'C'$ cuyos lados miden $2a$, $2b$ y $2c$ (es la pirámide desdoblada). El lado que mide $2a$ es el contrario a $A'$, y análogamente con el resto. Sean $A$, $B$ y $C$ los puntos medios de los lados $B'C'$, $A'C'$ y $A'B'$, respectivamente. Si trazamos las alturas del triángulo $A'B'C'$ se intersectarán en el ortocentro $H'$ de este triángulo.
Consideremos la altura desde $C'$. Está altura también es ortogonal a $BA$, pues es la recta que une los puntos medios del triángulo. Si rotamos, en el espacio, el triángulo $ABC'$, con eje en la recta $AB$, el punto $C'$ rotará formando un círculo $C_C$ que se encuentra en el plano que contiene a la altura desde $C'$ y que es ortogonal a $AB$. Lo anterior porque dicha altura es ortogonal al eje de rotación. Si repetimos lo mismo, ahora con la altura desde $A'$, rotando en la recta $BC$, tendemos que $A'$ rota creando un círculo $C_A$ en el plano ortogonal a $BC$ y que contiene a la altura desde $A'$.
Estos dos planos se intersectarán en una recta que es ortogonal al plano que contiene al triángulo. En esa recta debe haber un punto $S$ donde $C_A$ y $C_C$ se intersectan. Lo anterior porque $C_A$ tiene como diámetro a la altura desde $A'$ (porque $ABC$ es triángulo medial) y$C_C$ tiene como diámetro a la altura desde $C'$ y estas alturas se intersectan dentro de los diámetros y no en sus prolongaciones (¡aquí usamos que sea acutángulo!). Así que al rotar las caras hasta que $A'$ y $C'$ queden en el punto S, obtenemos que B'$ puede rotar y caer sobre $S$, por el mismo argumento (y dado que las alturas se intersectan).
Con esto hemos concluido que la altura $h$ del poliedro satisface
$h^2 + k^2 = h_a^2$,
donde $h_a$ es la longitud de la altura desde $A$ al lado $BC$, que es la mitad de la altura desde $A'$. Y $k$ es la longitud del segmento desde la intersección de la altura con $A'$ con $BC$ con el ortocentro $H'$. Por lo tanto, $h^2 = h_a^2 - k^2 = (h_a + k)(h_a - k) = A'H'\cdot XH'$ donde $X$ es el pie de la altura desde $A'$. Aquí usamos que $BC$ biseca a la recta $A'X$, así que cada mitad vale $h_a$, así que $h_a - k$ es la longitud del segmento $XH'$. Sin embargo, esta cantidad no es otra cosa que la potencia de de $H'$ respecto al círculo de diámetro $A'C'$.
La potencia de un punto interior a un círculo, como es el caso, es el cuadrado del radio menos el cuadrado de la distancia al centro. Así que aquí tenemos que calcular $r^2 - (H'B)^2$. Antes de proseguir, notemos que esta potencia es cuatro veces la potencia del ortocentro del triángulo $ABC$ con respecto al círculo respectivo (el de diámetro el lado AC). Es cuatro veces, porque las distancias se duplican en el triángulo medial. Calcularemos está última potencia y la multiplicaremos por $4$.
El radio del círculo es fácil, es simplemente $\frac{b}{2}$, pero necesitamos calcular $HM$ donde $H$ es el ortocentro de $ABC$ y $M$ esel punto medio de $AC$. Para hacer esto usaremos números complejos suponiendo que el circuncentro de $ABC$ es el origen. Entonces el ortocentro $h$ de $ABC$ está dado por la suma de las coordenadas $a + b + c$ (usaremos minúsculas para números complejos) y el punto medio es $\dfrac{a + c}{2}$, por ende el vector diferencia es $a + b + c - \dfrac{a + c}{2} = \dfrac{a + 2b + c}{2}$. Por otra parte, el vector que mide el valor del radio es $a - \dfrac{a + c}{2} = \dfrac{a - c}{2}$. Por lo tanto,
Potencia $= \mid \dfrac{a - c}{2}\mid^2 - \mid \dfrac{a + 2b + c}{2} \mid$,
Al expandir esto, utilizando que $\mid z \mid^2 = z\overline{z}$, se obtiene que
Potencia $= \dfrac{-4b\overline{b} - 2(a\overline{c} + \overline{a}c+\overline{a}b+a\overline{b}+b\overline{c}+\overline{b}c)}{4}$.
Por otra parte, si notamos que $|a - b|^2 = (a - b)\overline{a - b} = a\overline{a} + b\overline{b} - a\overline{b} -\overline{a}b$ obtendremos que
$a\overline{b} + \overline{a}b = 2R^2 - AB^2$.
Procediendo análogamente con los otros lados y sustituyendo, obtenemos que
Potencia = $\dfrac{2(AB^2 + BC^2 + CA^2) - 16R^2}{4}$.
Abandonando la notación de números complejos, y denotando $a, b, c$ a las longitudes de los lados del triángulo, recordemos que $h^2 = 4*Potencia$, así que hemos concluido que
$h = \sqrt{2(a^2 + b^2 + c^2) - 16R^2}$
Con esto ahora podemos usar la fórmula para el volumen de una pirámide, así que el volumen es
$\dfrac{S \sqrt{2(a^2 + b^2 + c^2) - 16R^2} }{3}$,
donde $S$ es el área del triángulo $ABC$ el cuál puede calcularse usando Herón para ponerse en términos de los lados del triángulo únicamente. De la misma forma, puede calcularse el radio R con la fórmula clásica $R = \dfrac{abc}{4S}$.
