Un baúl de problemas olvidado - Problema propuesto 14

Question

Problema. Determine si existe un polinomio mónico

$p(z):=z^{n}+a_{n-1}z^{n-1} + \cdots + a_{1}z+a_{0} \in \mathbb{C}[z]$

tal que

$p(\overline{\Delta}) \subseteq \Delta,$

donde $\Delta:=\{z\in \mathbb{C} : |z|<1\}$.

* Las soluciones que se reciban serán consideradas para ser incluidas en las próximas entregas del artículo Un baúl de problemas olvidado. Pueden leer la más reciente entrega de este trabajo en el siguiente enlace:

http://universo.math.org.mx/2015-2/Baul-III/baul-III.html

Answer 1

Definimos $\partial \Delta =\{z\in\mathbb{C}:\left\vert z\right\vert =1\}$. Supongamos ahora que existe tal polinomio $p$ y consideremos al polinomio $q$ definido por $q(z)=\sum_{k=0}^{n}a_{n}z^{n-k}$, donde $a_{n}=1$.

De las hipótesis dadas se sigue que para todo $z\in \partial \Delta $

$\left\vert p(\frac{1}{z})\right\vert <1$
 

Es decir,

$\left\vert \sum_{k=0}^{n}a_{k}z^{-k}\right\vert <1$

$\Longrightarrow $

$\left\vert z^{n}\right\vert \left\vert \sum_{k=0}^{n}a_{k}z^{-k}\right\vert<1$

$\Longrightarrow $

$\left\vert \sum_{k=0}^{n}a_{k}z^{n-k}\right\vert <1$

Esto es

$\left\vert q(z)\right\vert <1$
 
Como lo anterior es cierto para todo $z\in \partial \Delta $, por el teorema del módulo máximo se sigue que $\left\vert q(z)\right\vert <1$ para todo $z\in \Delta $. Sin embargo, $q(0)=1$. De esta contradicción concluimos que no existe tal polinomio.