Un baúl de problemas olvidado - Problema propuesto 15

Question

Problema. Sea $a$ un número natural que no es un cuadrado perfecto. Demuestre que la ecuación diofántica $n! + a = x^{2}$ admite sólo un número finito de soluciones $(n, x) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$.

* Las soluciones que se reciban serán consideradas para ser incluidas en las próximas entregas del artículo Un baúl de problemas olvidado. Pueden leer la más reciente entrega de este trabajo en el siguiente enlace:

http://universo.math.org.mx/2015-2/Baul-III/baul-III.html

Answer 1

Se utilizará el siguiente lema.

Lema. Un entero $n$ es un residuo cuadrático módulo cualquier primo $p$ salvo un número finito si y sólo si $n$ es un cuadrado perfecto.

Si $n$ es un cuadrado perfecto, entonces claramente $n$ es un residuo cuadrático módulo cualquier primo. Una demostración del hecho recíproco se puede encontrar aquí: http://www.ams.org/journals/bull/1933-39-10/S0002-9904-1933-05730-0/S0002-9904-1933-05730-0.pdf.


Como $a$ no es un cuadrado perfecto, existe un primo $p$ tal que $a$ no es un residuo cuadrático módulo $p.$ Luego, para cualquier entero $n\geq p$ se tiene que $n!+a=x^2$ no tiene soluciones enteras y por lo tanto, el número de soluciones es finito. $$\blacksquare$$





 

Comments

Bien, esa es una manera de resolverlo... Hay una solución mucho más simple en la cual ese lema ni tan siquiera es invocado. Por cierto, ¿habías leído ese artículo recientemente?

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No tan recientemente. Hace unos meses me encontraba resolviendo (tratando) unos pequeños problemas y busqué referencias que me ayudaran y encontré éste; cuando ví este problema recordé el artículo.

Una solución más simple mm pensaré

Answer 2

Como $a$ no es un cuadrado perfecto, entonces existe un primo $p$ tal que el exponente $e_p(a)$ de $p$ en la factorización de primos de $a$ es impar. Luego, para cada $n\geqslant p^{e_p(a)+1}$ se tiene que $$n!+a=p^{e_p(a)}(m+a'),$$ donde $m$ y $a'$ son enteros tales que $m:=n!/p^{e_p(a)},$ $a'=a/p^{e_p(a)}$ y además $p\mid m$ y $p\nmid a'.$ Luego $p\nmid m+a'$ y entonces $\gcd\left(p^{e_p(a)},m+a'\right)=1.$ Se sigue que $n!+a$ no puede ser un cuadrado perfecto y por lo tanto se concluye que la expresión $n!+a=x^2$ no tiene soluciones $(n,x)\in\mathbb Z^2$ para $n\geqslant p^{e_p(a)+1}$ y el resultado sigue. $$\blacksquare$$

Ahora, ayer (en un rato de ocio) publiqué en mathlinks el problema, pero me respondieron hasta hoy, aunque la solución la hallé independientemente. Esto lo aclaro para que no se piense que es plagio (las soluciones son muy similares).

Comments

¿Cuál es la necesidad de pedir soluciones en MathLinks?

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Bueno, quería ver si había soluciones alternativas. Si había una más "bonita" o más directa, entonces no postearía mi solución (ni alguna otra, claro), pero al final resultó que la idea era esencialmente la misma. Aún así me disculpo sinceramente por haber posteado el problema en ese sitio.