1) La aplicación
$f: H \times K \longrightarrow{G}, (h,k)\mapsto hk$
es un morfismo de grupos.
En efecto,
$$f((x,y)(z,w))=f((xz,yw))=xzyw=xyzw=f((x,y))f((z,w)),$$
así, $f$ es morfismo de grupos (en la penúltima igualdad usamos
que $xy=yx$ para todos $x\in H$ y $y\in K$).
2) $f$ es monomorfismo.
Suponga que $f((x,y))=xy=e$. Entonces $H \ni x=y^{-1}\in K$ por lo tanto
$x=y^{-1}=e$ i.e. $x=y=e$.
3) $f$ es epimorfismo.
Esto es consecuencia de que $HK=G$.