Determinar si una función es isomorfismo

Question

Sea $G$ un grupo y sean $H$, $K$ dos subgrupos tal que $H \cap K = \{ e \}$, $HK = G$, y tal que $xy = yx$ para toda $x \in H$ y $y \in K$. Entonces la aplicación $H \times K ---> G$ tal que $(x, y) ---> xy$ es un isomorfismo. Espero puedan colaborarme. Gracias de antemano.

Comments

Conviene que cambies $H x K$ por $H \times K $

Answer 1

1) La aplicación  

$f: H \times K \longrightarrow{G}, (h,k)\mapsto hk$

es un morfismo de grupos.

En efecto, 

$$f((x,y)(z,w))=f((xz,yw))=xzyw=xyzw=f((x,y))f((z,w)),$$ 

así, $f$ es morfismo de grupos (en la penúltima igualdad usamos 

que $xy=yx$ para todos $x\in H$ y $y\in K$).

2) $f$ es monomorfismo.

Suponga que $f((x,y))=xy=e$. Entonces $H \ni x=y^{-1}\in K$ por lo tanto 

$x=y^{-1}=e$ i.e. $x=y=e$.

3) $f$ es epimorfismo.

Esto es consecuencia de que $HK=G$.