Resolver la congruencia $155x \equiv 75 mod(65)$ (Álgebra Abstracta)

Question

Hace tiempo me pidieron resolver la congruencia $155x \equiv 75 mod(65)$. La teoría que utilicé fue la siguiente:

Las soluciones de $ax \equiv b mod(n)$ son $x_o + \frac{kn}{d}$, donde $d=(a,n)|b$ y donde $x_o = \frac{rb}{n}$. Haciendo todo el proceso, llegue a que mis soluciones son las siguientes:

$\{ 55 + 13p, p \in \mathbb{Z} \}$

O bueno, puede haber puesto que las soluciones son: $\{ [55], [68], [84], [94], [107] \}$. El problema es que me dijeron que esa no es la teoría que debo utilizar. Debí haber utilizado la teoría de Álgebra abstracta. El problema es que yo no sé de que teoría hablan, pues recuerdo que falte dos días a clase. No sé si alguien pueda ayudarme a resolver bien el ejercicio y a darme una bibliografía para poder estudiar. Gracias por la ayuda que me han estado brindando.

Answer 1

Hola:

No se muy bien que quieran decir cuando te dicen que debas utilizar "álgebra abstracta". Eso suena más bien esotérico, pero quizá algo así es a lo que se refieren: Los enteros módulo $65$ son $\mathbb{Z}_{65}$ y como $65 = 13\times 5$, puedes escribir 

$\mathbb{Z}_{65} = \mathbb{Z}_{13}\times\mathbb{Z}_{5}$.

En esta representación, el $75$ se vuelve $(10, 0)$ y el $155$ se vuelve $(-1, 0)$ (recuerda que $n$ se vuelve la pareja $(a, b)$, donde $a$ es su residuo módulo $13$ y $b$ su residuo móduo $5$. Esto no es más que el isomorfismo de grupos que te da el teorema chino del residuo.).

 Así que tú estás buscando una pareja $(a, b)$, que representa a la clase $x$, que satisfaga

$(-1, 0)(a, b) = (10, 0)$,

de donde $a = -10 = 3$ y $b$ puede ser lo que sea, porque $0b = 0$ en cualquier caso. Así que tienes cinco elementos que cumplen:

$(3, 0), (3, 1), (3, 2), (3, 3)$ y $(3, 4)$.

Estos elementos son justamente las cinco clases de congruencia que tú encontraste por el otro método, salvo la clase $[84]$ que tú mencionas, que no es solución. Debería ser $[81]$ y corresponderá a $(3, 1)$. El resto coinciden correctamente.

Comments

Hola Malors. Sólo me quedo una duda: ¿Cómo sé que $(3, 1)$ corresponde a $[81] = [16]$ en $\mathbb{Z}_{65}$? Es decir, teniendo los pares ordenados, quisiera saber convertirlos a elementos de $\mathbb{Z}_{65}$.

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Porque es congruente a $3$ módulo $13$ y es congruente a $1$ módulo $5$, y el mapa que envía $n$ a $(n \pmod 13, n \pmod 5)$ es un isomorfismo.