Calcular la integral

Question

Mostrar que $\int _{0} ^ {\infty} {\exp (-st ) t^{-\frac{1}{2}}} dt = (\frac{\pi}{s} )^ \frac{1}{2}$

Answer 1

Si $s>0$ entonces con la sustitución $u=\sqrt{st}$, la integral del lado izquierdo deviene en $\frac{2}{\sqrt{s}}\int_{0}^{\infty} e^{-u^{2}}\, du$. Esta última integral es igual a $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ (en esta discusión puedes encontrar dos o tres maneras de convencerte de ello) y la prueba termina.