Entiendo cómo refutar la demostración, de la siguiente manera:
En la demostración expuesta, se asume que el enunciado se cumple para $1,\ 2,\ .\ .\ .,\ n$ y se tiene que, para el caso $n+1$,
$a^{(n+1)-1}=\frac{a^{n-1}*a^{n-1}}{a^{(n-1)-1}}=\frac{1*1}{1}=1$.
Pero, se debe poder comprobar que ese resultado que se da para $n+1$ es cierto tomando $n=1$, y tener entonces que:
$1,\ 2,\ .\ .\ .,\ n=1,\ .\ .\ .,\ 1=1$.
Como $n=1$, $n+1=2$. Veamos, pues, qué pasa para el caso de $n+1=2$:
$a^{(n+1)-1}=a^{(1+1)-1}=a^{2-1}=\frac{a^{1-1}*a^{1-1}}{a^{(1-1)-1}}$.
Como, por suposición se cumple para el caso de $1$, se tiene que $a^{1-1}=1$. Por tanto:
$a^{(n+1)-1}=a^{(1+1)-1}=a^{2-1}=\frac{a^{1-1}*a^{1-1}}{a^{(1-1)-1}}=\frac{1*1}{a^{0-1}}=\frac{1}{a^{0-1}}$.
Pero, ¿qué cosa es ese denominador que ha quedado? ¿Acaso es el "caso para $0$"?
El caso para $0$ no está definido, no existe, porque el primero de todos los casos es el de $1$, los casos empiezan desde el $1$, no desde $0$. No se puede tomar el "caso $n=0$". Así que no sabemos qué valor es $a^{0-1}$ en el contexto de este problema. Cuando asumimos que el enunciado se cumple para $1,\ 2,\ .\ .\ .,\ n$, decimos $1,\ 2,\ .\ .\ .,\ n$, y no $0,\ 1,\ 2,\ .\ .\ .,\ n$. Por tanto, no podemos asegurar que $a^{0-1}=1$. Así entonces, el resultado anterior, que es el caso para $2$, no podemos asegurar que queda igual a $1$, porque queda igual a $\frac{1}{a^{0-1}}$.
Este es un contra-ejemplo para el cual la demostración expuesta no se cumple, una manera de refutarla, porque se basa exactamente en lo mismo que se hace en dicha demostración, en que si se cumple para $1,\ 2,\ .\ .\ .,\ n$, se cumple también para $n+1$. Pero he demostrado que si se toma $n=1$, quedando $1,\ 2,\ .\ .\ .,\ n=1,\ .\ .\ .,\ 1=1$, no se cumple para $n+1=2$, no se cumple el hecho anterior, es decir, no se cumple el hecho de que, si se cumple para $1,\ 2,\ .\ .\ .,\ n$, se cumple para $n+1$, por quedar $\frac{1}{a^{0-1}}$, lo cual no está definido.
FIN.