Un baúl de problemas olvidado - Problema propuesto 18

Question

Problema. Encuentre la solución de la ecuación diferencial

$$f^{\prime}(x) = f^{-1}(x), \, \mbox{ con } \, f(0)=0 \, \mbox{ y } \, f^{\prime}(x)>0 \, \mbox{ para } \, x>0.$$

* Las soluciones que se reciban serán consideradas para ser incluidas en la próxima entrega del artículo Un baúl de problemas olvidado. Pueden leer la más reciente entrega de este trabajo en el siguiente enlace:

http://universo.math.org.mx/2015-3/Baul-IV/baul-IV.html

Comments

Algo obvio para intentar es $f(x) = ax^b$. Es fácil ver que entre esas funciones, la única solución es $f(x) = \phi^{1-\phi} x^\phi$ donde $\phi$ es la razón aurea. Todavía no sé si es la única solución. Por cierto, esa solución se puede escribir en la forma $\phi \left(\frac{x}{\phi}\right)^\phi$.