En efecto: El Pequeño Teorema de Fermat dice que, si $p$ es un número primo, entonces, para cada número natural $a$, con $a>0$, $a^{p}-a$ es múltiplo de $p$. Así que para nuestro caso, se tiene que $n^{3}-n$ es múltiplo de $3$ para cada número natural $n$, con $n>0$. Pero también se tiene que $n^{2}-n$ es múltiplo de $2$ para cada número natural $n$, con $n>0$.Como $n^{2}-n=(n-1)n$ es múltiplo de $2$, también $(n-1)n(n+1)=n^{3}-n$ es múltiplo de $2$. Entonces, $n^{3}-n$ es múltiplo de $3$ y de $2$ para todo entero $n$ con $n>0$. Se tiene, pues, $n^{3}-n=3k$ para algún entero $k$, con $k \geq 0$ (porque $n^{3}-n \geq 0\ \forall \ n>0$). Puesto que $3k$ es entonces también múltiplo de $2$, y $3$ no lo es, entonces $k$ es múltiplo de $2$. Se tiene, pues, $k=2l$, para algún entero $l$, con $l \geq 0$. Por tanto, $n^{3}-n=3 \cdot 2l=6l$, quedando demostrado que $n^{3}-n$ es múltiplo de $6$ para todo entero $n$, con $n>0$.