Demostrar que el siguiente espacio topologíco es continuo lineal.

Question

Sea X un conjunto ordenado con la topología de orden. Demuestre que si X es conexo, entonces es un continuo lineal. Es un ejercicio del autor Munkres y no se me ocurre como solucionarlo. ¿Podrían echarme una mano?

Comments

¿Ya viste esta pregunta? http://irracional.org/index.php/2819/problema-de-una-tarea-de-antano Eso te dice como probar que $X$ cumple el axioma del supremo; ver que el orden es denso es más fácil.

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No la había visto. La leeré con calma. ¡Gracias!

Answer 1

Creo que ya te contestaron en los comentarios pero es una pregunta que me contesté a mí mismo hace poco, así que me sentí obligado a contestarla.

Primero hay que asumir que el orden es total (como hace Munkres), de otro modo la topología del orden se tiene que definir de algún modo extraño que no me sé.

1. $X$ es densamente ordenado. Supongamos que no. Si $a,b\in X$ son tales que el intervalo $(a,b) $ es vacío, entonces $A=(-\infty,b)=(_\infty,a] $ y $B=(a,\infty)=[b,\infty) $ forman una separación de $X$, por lo que $X$ no sería conexo.
2.   $X$ es completo. Supongamos que no. Sea $Y\subset X$ acotado por arriba pero sin supremo. Sea $A$ el conjunto de las cotas superiores de $Y$. Si $a\in A$, como no es supremo, existe $a'\in A$ tal que $a'<a$. Luego $(a',\infty) $ es una vecindad de $a $ contenida en $A$, lo que prueba que $A$ es abierto. Sea $z\in X\setminus A$. Como $z$ no es supremo existe  $y\in Y$ tal que $z<y$. Luego $(-\infty,y) $ es vecindad de $z$ en $X\setminus A$. Por lo tanto $A $ y su complemento forma antes una separación de $X $, lo que contradice la conexidad.