Demostrar: Si $p^{2}$ es divisible, entonces $p$ es divisible...

Question

Demostrar:

Si $p^{2}$ es divisible entre $3$, entonces $p$ es divisible entre $3$.

Comments

¿Qué has intentado?

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Bien, gracias. Lo que se me ocurrió fue expresar $\displaystyle p^{2}$ como $\displaystyle p \cdot p$, y como $\displaystyle 3 \mid p^{2}$, si $\displaystyle 3$ no es un factor de $\displaystyle p$, ninguno de los factores del producto $\displaystyle p \cdot p$ tendrá a $\displaystyle 3$ como factor, por lo cual $\displaystyle p \cdot p = p^{2}$ no será divisible entre $\displaystyle 3$. Por tanto, $\displaystyle 3$ debe ser un factor de $\displaystyle p$. Pero no estoy seguro de si este razonamiento sea válido o suficiente como demostración. ¿Qué opináis de esto?

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Que éso no es una prueba, sino una idea muy general de los que debes hacer. Ahora, para guiarte un poco: sabes que como $3$ es primo y divide a $p^2=p\cdot p$ entonces $3$ divide a al menos uno de los factores, por lo que...

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Sí, así es. La clave está en que $3$ (el divisor) es primo. Así, como $3 \mid p^{2}$, $3$ divide al menos a uno de los factores, pero como ambos factores son iguales ($p$), entonces $3 \mid p$. De hecho, esto se deduce del Lema de Euclides: "Si un número primo divide al producto de dos números enteros positivos, entonces el número primo divide al menos a uno de esos dos enteros positivos".

Si el divisor no fuera primo, por ejemplo, si tuviésemos $\frac{6 \cdot 6}{9}$ tomando $p=6$, vemos que $9 \mid 6^{2}$, pero aquí ninguno de los factores del producto $6 \cdot 6$ es divisible entre el $9$, esto es, $9 \nmid 6$. Lo que sucede en este caso es que los factores de $9$ $\left(3 \cdot 3\right)$ están repartidos en el producto $6 \cdot 6$ de la siguiente manera: un $3$ en cada factor $6$, esto es, $\frac{6 \cdot 6}{9}=\frac{\left(2 \cdot 3\right) \cdot \left(2 \cdot 3\right)}{9}$, donde vemos un $3$ en cada paréntesis. Y por esa razón es que $9$ divide al producto $6 \cdot 6$. Pero en el caso en que el divisor es primo, éste no tiene otro factor más aparte de la unidad que él mismo, por lo cual sus factores no pueden estar repartidos en el producto $p \cdot p$, sino que tiene que dividir al menos a uno de los factores del producto. Pero como los factores del producto son los mismos, entonces el divisor primo divide a $p$.

Answer 1

Vamos a ver:

Sea $p$ un entero positivo, $p>1$,  por el teorema fundamental de la aritmetica, se puede descomponer en factores primos como $$p=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha _2}\dots p_n^{\alpha _n}$$
de aqui que
$$p^2=p_1^{2\alpha_1}p_2^{2\alpha _2}\dots p_n^{2\alpha _n}$$  dado que $p^2/3$ y 3 es primo se tiene que 3 divide a algún factor primo de la forma
$$3^{2\alpha_i}$$, es claro que $\alpha_i$ no puede ser cero, de aqui que $\alpha_i\geq 1$
de todo esto se concluye que 3 divide a $p$.

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Correcto, sencilla demostración. Ya que $\displaystyle 3 \mid p^{2}$, entonces uno de los factores $\displaystyle {p_{i}}^{2 \alpha_{i}}$ es $\displaystyle 3^{2 \alpha_{i}} = \left(3^{\alpha_{i}}\right)^2$, por lo cual uno de los factores $\displaystyle p_{i}^{\alpha_{i}}$ de $\displaystyle p$ es $\displaystyle 3^{\alpha_{i}}$, es decir, uno de los números primos $\displaystyle p_{i}$ es $\displaystyle 3$, y por tanto, $\displaystyle 3 \mid p$ , pues $\displaystyle 3 \mid 3^{\alpha_{i}}$ .

Answer 2

Hay una solución curiosa que una vez me dio un alumno en clase de teoría de números. Ya habíamos visto el lema de Euclides (https://en.wikipedia.org/wiki/Euclid%27s_lemma), que dice que si $p$ es primo y $p|ab$, entonces $p|a$ ó $p|b$.

En vista de eso, como $3$ es primo y $3|n^2=n\cdot n$, entonces $3|n$, o $3|n$, así que no te escapas de que divida a $n$.

Por supuesto, la demostración de lema de Euclides pasa por los otros argumentos que se han mencionado.

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¡Yo también di esa solución hace muchos años en una tarea de Álgebra Superior!

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Así es, Leo Martínez, ese ha sido mi razonamiento también para hacer la demostración.

Answer 3

He aquí una dem. de la contrapositiva: si $p$ no es divisible por $3$ entonces $p \equiv \pm 1 \pmod{3}$ y, por consiguiente, $p^{2} \equiv 1 \pmod{3}$, lo que indica en particular que $p^{2}$ no es divisible por $3$.

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Ahí usas el Pequeño Teorema de Fermat, ¿cierto? Si $p$ es coprimo con $3$, entonces $p^{2}-1=\left(p+1\right)\left(p-1\right)$ es divisible entre $3$, por lo cual $3 \mid \left(p+1\right)\ \lor\ 3 \mid \left(p-1\right)$. Pero no comprendo por qué de ello se deduce que $3 \nmid p^{2}$. ¿Podría aclararme todo esto, por favor?

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No es necesario apelar al PTF. Lo que aplico ahí es que si un número entero $n$ no es divisible por $3$ entonces deja resto $1$ o $2$ en la división por $3$. Por otro lado, $p^{2} \equiv 1 \pmod{3}$ implica que $3 \nmid p^{2}$ pues, en caso contrario, se tendría que $0 \equiv 1 \pmod{3}$ (¡absurdo!).

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Bien. Entonces, ¿cómo se demuestra que el resto de dividir entre $3$ un número no divisible entre $3$ es $1$ o $2$? Lo he intentado haciendo lo siguiente: Sea $Q$ y $R$, respectivamente, el cociente y el resto de dividir $n$ entre $3$. Entonces $n=3Q+R$, lo cual implica que $R=n-3Q$, pero con eso no veo cómo puedo justificar que $R=1 \lor R=2$, es decir, $n-3Q=1 \lor n-3Q=2$.

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¿Nunca has escuchado hablar del algoritmo de la división en $\mathbb{Z}$?

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El resto es menor que el divisor.