¿Cuántas soluciones tiene en el interior del disco unitario?

Question

Sea $a$ un número real mayor que 1. Si $D$ es el disco unitario, es decir, $D=\{z\in\mathbb{C}:|z|\leq1\}$,

¿Cuántas soluciones tiene la ecuación $z{\rm e}^{a-z}=1$ en el interior de $D$?

¿Las soluciones de esta ecuación, en caso de existir, pertenecen a un conjunto conocido?

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Hi--llo! ...

Answer 1

Considérense las funciones de variable compleja $f(z) = e^{z} - e^{a}z$ y $g(z)=e^{a}z$. Puesto que en la frontera de $D$ se cumple que

$|e^{z}| = e^{\mathrm{Re}(z)} \leq e$

se sigue que

$|f(z)+g(z)| = |e^{z}| \leq e < |f(z)| + e^{a} = |f(z)|+|g(z)|$

para cada $z \in \partial D.$ El teorema de Rouché nos permite afirmar entonces que el número de ceros de $f(z)=e^{z}-e^{a}z$ en el interior de $D$ es igual al número de ceros de $g(z)=e^{a}z$. Puesto que la función $g$ tiene exactamente un cero en el interior de $D$, concluimos que el número de soluciones a la ecuación $e^{z}=e^{a}z$ en el interior de $D$ es también $1$. La solución es de hecho un número real en $(0,1)$ pues $f\vert_{\mathbb{R}}$ es una función continua y $f\vert_{\mathbb{R}}(0) = 1>0$ y $f\vert_{\mathbb{R}}(1) = e-e^{a}<0.$