Sumas de cuadrados: el imperio contraataca

Question

Tengo otro problema de teoría de números que me ha causado dolor de cabeza varios de lo últimos días.

Considere enteros $b$, $c$, $d$ tales que $(b,c)$=1, $n:=b^2 +c^2$ impar, digamos que $c$ es impar. Suponga que $(d,n) = p_{1}^{\alpha_1} \cdots p_{k}^{\alpha_k}$ es la factorización en primos.  Suponga que $d=p_{1}^{\beta_1} \cdots p_{k}^{\beta_k} \cdot q$ con $(q,p_i)=1$ y considere $g=p_{1}^{\beta_1} \cdots p_{k}^{\beta_k} $, es decir, $g$ es el divisor más grande de $d$ que usa todos los primos en $(d,n)$. 

Por alguna otra pregunta sabemos que $p_i \equiv 1 \pmod{4}$ para toda $i$, esto implica que existen $x$, $y$ primos relativos tales que $g=(x^2+y^2)$ note que $g$ es también impar, de modo que podemos suponer que $x$ es impar. Considere $r:= xb+yc$ y $s:=xc-yb$. Una cuenta nada difícil nos dice que $r^2+s^2 = (x^2 + y^2)(b^2+c^2)$. ¿Será que $r$ y $s$ son primos relativos? ¿Necesito más condiciones en su elección para tal fin? (Noten que éstos dependen de la elección de $x$ y $y$ la cual fue medio arbitraria). 

Le he preguntado muchísimas veces a la computadora y no tengo aún contraejemplo, le he echado suficiente talacha y no lo he podido probar tampoco.