Hola Tero:
La respuesta a tu pregunta es SÍ. La dem. va así:
Si $q$ es un primo congruente con $3$ módulo $4$ que divide a $m$ y $m=b^{2}+c^{2}$ (donde $b$ y $c$ son enteros coprimos), entonces $c^{2} \equiv -b^{2} \pmod{q}$. De esto y de la coprimalidad de $b$ y $c$ se sigue que $q \nmid b$; por lo tanto, existe $u \in \mathbb{Z}$ tal que $ub \equiv 1 \pmod{q}$. De las dos congruencias anteriores se infiere fácilmente que
$$(uc)^{2} \equiv -1 \pmod{q},$$
lo cual entra en contradicción con el hecho de que $-1$ es un resto no cuadrático módulo cualquier primo que es congruente con $3$ módulo $4$ (lo cual puedes probar sin mucha dificultad mediante el pequeño teo. de Fermat , o apelando a un teo. de Euler que te enseñan luego luego de que te empiezan a hablar del símbolo de Legendre, etc.).
Por otra parte, el resultado básico sobre la representación de números naturales mediante sumas de cuadrados es el siguiente:
Un núm. natural $n$ se puede escribir como la suma de dos cuadrados perfectos si y sólo si en su descomposición canónica sus divisores primos que son congruentes con $3$ módulo $4$ aparecen con exponente par.
(La dem. es muy simple: puesto que el producto de dos números que son sumas de dos cuadrados perfectos es otro núm. de esa forma y que todo primo congruente con $1$ módulo $4$ se puede expresar como una suma de dos cuadrados perfectos, tienes en automático una parte de la dem.; para la otra parte, en algún momento vas a repetir el argumento con el que respondí a la pregunta "puntual" que planteaste.)
Obviamente, la historia no queda ahí. Hay también un resultado de Jacobi que dice de cuántas maneras se puede poner cada núm. natural como suma de dos cuadrados, después vas a querer buscar resultados análogos para sumas de más cuadrados o potencias mayores, etc., etc.
Cordialmente,
José Hdz (por alguna extraña razón, esta cosa no está reconociendo mi cuenta de FB)
P.S. "Number theorists are like lotus-eaters: having once tasted this food they can never give it up."
