Cuadrados perfectos: uno para amenizar la tarde

Question

He aquí un bonito problema, especialmente dedicado a los aficionados a la teoría de números pero que posiblemente sea del agrado de todos:

Determine todos los pares ordenados $(m,n)$ de números naturales tales que tanto $m^{2}+5n$ como $n^{2}+5m$ son cuadrados perfectos.

¡Éxito!

Comments

Aunque realmente dudo que alguien de nivel medio ande por estos rumbos.

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Creo que tienes razón... Ampliaré la dedicatoria a ver si así hay más suerte.

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Aunque sería bueno que se motivara a los chicos de prepa a visitar y  a preguntar en el foro.

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Sí hay usuarios idóneos,..los hay de todos los niveles, creo; igual, creo que a muchos viene bien "estar en forma" en el proceder algebraico. Saludos!

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Anímense pues compañeros...

Answer 1

Escribamos $m^2 +5n = (m+k)^2$ para alguna $k>0$ y supongamos $m\geq n$. Entonces

$5m \geq 5n = 2mk + k^2$

de donde vemos que $k\leq 2$. Tenemos entonces dos casos:

$k=1$ implica que $(5n-1)/2=m$. Ahora sustituimos esto en la ecuacion $n^2 + 5m = (n+t)^2$ y obtenemos

$(25-4t)n = 2t^2+5$

asi que $1\leq t \leq 6$. De estas posibilidades solo $t=5,6$ dan valores enteros para $n$ y obtenemos

$(m,n)=(27,11)$ y $(192,77)$.

$k=2$ implica que $m=(5n-4)/4$ y al igual que arriba obtenemos la ecuacion

$(25-8t)n=4t^2+20$

asi que $1\leq t \leq 3$. De estas posibilidades solo $t=2,3$ dan valores enteros para $n$ y obtenemos

$(m,n)=(4,4)$ y $(69,56)$.

Comments

¿$(69,56)$ también?

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Si: $69^2+5*56 = 5041 = 71^2$ y $56^2+5*69=3481=59^2$

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En ese caso, haría falta un par... También habría que mencionar (al menos) la razón por la que se desecharon los pares $(27,11)$ y $(192,77)$. Como en términos generales el análisis es adecuado, damos por buena la respuesta. Congratulaciones.

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No se desecharon. También son válidos. En total son 4 parejas.

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Toda la razón, Carlos. (Sólo que en sí serían $7$ parejas, ¿qué no?)

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No. A mi solo me salen cuatro parejas.

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$(69,56)$, $(56,69)$, etc.

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ah, las permutaciones...