¿Mejor libro de fundamentos de análisis real?

Question

Hola:

No soy matemático, pero me encantan las matemáticas. Y estoy buscando un libro que no se si exista. Lo que busco es un libro que sea fundamental y completamente riguroso, que defina todas las funciones que va a utilizar (al menos desde la suma) y que establezca claramente los axiomas en los que se basa. ¿Podré encontrarlo? ¿Si no, que alternativas tengo?

Comments

El Analysis de Terence Tao es muy bueno. Comienza con los axiomas de peano; construye los naturales, los enteros, los racionales y los reales. Deberías echarle una hojeada a ese libro.

Answer 1

Hay muchos, muchísimos libros donde puedes encontrar este material. De entrada, cualquier libro básico de teoría de conjuntos (como el Hrbacek--Jech, el Enderton, o el Hernández-Hernández) contiene algún capítulo dedicado a la construcción de los números reales (partiendo esencialmente desde los axiomas de la Teoría de Conjuntos, claramente definiendo lo que es un número real desde esta perspectiva, y demostrando que la estructura de números reales es un campo ordenado con la propiedad arquimediana). Muchos libros de análisis también contienen partes de esta construcción (quizá no desde los axiomas de Teoría de Conjuntos, pero sí desde la suposición de que sabemos quién es $\mathbb Q$, o quizá un poco más atrás, suponiendo simplemente que sabemos quién es $\mathbb N$ y que éste satisface los axiomas de Peano).

Históricamente, el primer libro que existió con este contenido es el Foundations of Analysis de Edmund Landau, que si mal no recuerdo data del siglo XIX, pero que sigue siendo relevante hoy en día. Y no es tan difícil de encontrar, ya sea comprado o prestado de alguna biblioteca, ya que cada cierto tiempo se reimprimen ejemplares de éste, y no pasa de moda.