Rumbo al Teorema de realización de Nielsen-Thurston

Question

Sea $G$ un grupo finito.

Demuestra que existe una superficie diferenciable $\Sigma$, orientable y de género finito, mayor igual a 2, tal que $G$ actúa diferenciable y libremente en $\Sigma$.

Aún más, muestra que se puede elegir una métrica para $\Sigma$ de curvatura constante $=-1$, para la cual $G$ actúa por isometrías.

Answer 1

Pienso que va como sigue, pero creo que me faltan algunos detalles.

 

Supongo que G no es trivial. Toma $\Gamma$ la gráfica de Cayley de G respecto a cualquier sistema de generadores. Ahora por cada vértice de $G$ pones un toro y pegas dos de estos toros usando suma conexa si hay una arista entre los correspondientes vértices. En resultado es la superficie que estás buscando (si el grupo no es trivial pegas al menos dos toros). Esto se pues la acción de G sobre $\Gamma$ induce una acción libre de G sobre $\Sigma$ por homeos que preservan la orientación. 

 

Ver que te puedes tomar isometrías no es complicado pues G es finito. Puedes comenzar con cualquier métrica hiperbólica $\mu$ sobre $\Sigma$ y definir una nueva métrica tomando promedios sobre las órbitas de G.

 

 

 

Comments

¡Muy bien! Se me olvidó decir que G no es trivial (aunque en este caso la acciñon del grupo trivial es libre). Lo que no es correcto es que la métrica promedio de una métrica hiperbólica también es hiperbólica. Falta un poco.

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Tienes razón...falta ¿Qué pasa si considero en el cubriente universal de $\Sigma$ (disco) la métrica que uniformiza a la métrica promedio, construyo con esa una métrica en el disco G-invariante y luego la bajo a $\Sigma$? ¿ O suena esto a un disparate?

Creo que también falta argumentar porqué la acción de G tiene que ser libre. Pero estoy medio perdido en esto por el momento...

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Bueno quizás esto es un overkill, pero funciona: a la métrica promedio que menciona Ferran le puedes aplicar el flujo de Ricci. El flujo converge a la métrica de curvatura constante y como $G$ actúa por isometrías en la métrica inicial, seguirá actuando por isometrías para todo tiempo.

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De hecho el Problema de Realización de Nielsen es bastante difícil y forma parte del trabajo de Thurston y Kerckhoff:

1)Kerckhoff, Steven P. (1980), "The Nielsen realization problem", American Mathematical Society. Bulletin. New Series 2 (3): 452–454

Ver: http://en.wikipedia.org/wiki/Nielsen_realization_problem

2) Kerckhoff, Steven P. (1983), "The Nielsen realization problem", Annals of Mathematics. Second Series 117 (2): 235–265

¡Sería estupendo dar una prueba usando el flujo de Ricci!
El problema es diferente: se fija la superficie y se da un subgrupo de índice finito del "mapping class group"y se pide la existencia de una métrica hiperbolica para la cual el grupo actúa por isometrías.