Question

= {(, , ) ∈ ℝ3 ; = = } es subespacio vectorial?

Answer 1

Para determinar si el conjunto:

W = {(x, y, z) ∈ ℝ³ ; x² = y²}

es un subespacio vectorial debemos demostrar que se cumplen dos condiciones:

1. Cerradura bajo la suma: Si u, v ∈ W, entonces u + v ∈ W
2. Cerradura bajo la multiplicación por un escalar: Si u ∈ W y k es un escalar, entonces k · u ∈ W.

Demostración:

1. Tomemos dos vectores cualesquiera en W, u = (a,b,c) y v = (d,e,f) con a² = b² y d² = e². Entonces, su suma es:

u + v = (a + d, b + e, c + f).

Queremos demostrar que (a+d)² = (b+e)²

Como a² = b² y d² = e², entonces (a+d)² = (b+e)² y podemos concluir que u + v pertenece a W.

2. Tomemos un vector u = (a,b,c) en W y un escalar k. Entonces,

k u = k (a,b,c) = (k a, k b, k c).

Como a² = b², entonces (k a)² = (k b)², y podemos concluir que k u pertenece a W.

Por lo tanto, como se cumple las dos condiciones, el conjunto W es un subespacio vectorial del espacio