* Si $n$ termina en $1, 3, 7$ o $9$, entonces la conclusión es trivialmente cierta.
* Si $n$ termina en $05$, entonces $14n$ termina en $70$.
* Si $n$ termina en $15$, entonces $5n$ termina en $75$.
* Si $n$ termina en $25$, entonces $3n$ termina en $75$.
* Si $n$ termina en $35$, entonces $2n$ termina en $70$.
* Si $n$ termina en $45$, entonces $6n$ termina en $70$.
* Si $n$ termina en $55$, entonces $5n$ termina en $75$.
* Si $n$ termina en $65$, entonces $15n$ termina en $75$.
* Si $n$ termina en $75$, entonces $1n$ termina en $75$.
* Si $n$ termina en $85$, entonces $2n$ termina en $70$.
* Si $n$ termina en $95$, entonces $5n$ termina en $75$.
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Falta analizar los casos en los que los últimos dos dígitos de $n$ conforman un número que pertenece al conjunto
$$\mathcal{X} = \{00, 02, 04, 06, 08, 10, 12, 14, 16, 18, \ldots, 90, 92, 94, 96, 98\}.$$
Si $n$ termina en $0$, entonces denotemos con $a$ al primer dígito de $n$, contado de derecha a izquierda, que es distinto de $0$.
** Si $a=1$, entonces $7n$ termina en $70\ldots0$.
** Si $a=2$, entonces $35n$ termina en $70\ldots 0$.
** Si $a=3$, entonces $9n$ termina en $270\ldots 0$.
** Si $a=4$, entonces $18n$ termina en $720\ldots0$.
** Si $a=5$, entonces $14n$ termina en $70\ldots 0$.
** Si $a=6$, entonces $12n$ termina en $720\ldots 0$.
** Si $a=7$, entonces $n$ termina en $70\ldots 0$.
** Si $a=8$, entonces $9n$ termina en $720\ldots0$.
** Si $a=9$, entonces, $8n$ termina en $720\ldots 0$.
Ahora bien, si $\ell \in \mathcal{X}\setminus \{0\}$, $4 \mid \ell$ y $5 \nmid \ell$, entonces existe $n^{\ast} \in \{1, 2, \ldots, 24\}$ tal que
$$(\ell /4) n^{\ast} \equiv 18 \pmod{25}.$$
De esto se sigue que $\ell \cdot n^{\ast}$ termina en $72$.
Ya sólo resta checar que el aserto se cumple cuando $n$ tiene algunas de las siguientes terminaciones:
$$02, 22, 42, 62, 82, 14, 34, 54, 74, 94, 06, 26, 46, 66, 86, 18, 38, 58, 78, 98.$$
* Si $n$ termina en $02$, entonces $35n$ termina en $70$.
* Si $n$ termina en $22$, entonces $8n$ termina en $76$.
* Si $n$ termina en $42$, entonces $9n$ termina en $78$.
* Si $n$ termina en $62$, entonces $6n$ termina en $72$.
* Si $n$ termina en $82$, entonces $7n$ termina en $74$.
* Si $n$ termina en $14$, entonces $5n$ termina en $70$.
* Si $n$ termina en $34$, entonces $5n$ termina en $70$.
* Si $n$ termina en $54$, entonces $5n$ termina en $70$.
* Si $n$ termina en $74$, entonces $n$ termina en $74$.
* Si $n$ termina en $94$, entonces $4n$ termina en $76$.
* Si $n$ termina en $06$, entonces $12n$ termina en $72$.
* Si $n$ termina en $26$, entonces $3n$ termina en $78$.
* Si $n$ termina en $46$, entonces $6n$ termina en $76$.
* Si $n$ termina en $66$, entonces $33n$ termina en $78$.
* Si $n$ termina en $86$, entonces $2n$ termina en $72$.
* Si $n$ termina en $18$, entonces $4n$ termina en $72$.
* Si $n$ termina en $38$, entonces $2n$ termina en $76$.
* Si $n$ termina en $58$, entonces $3n$ termina en $74$.
* Si $n$ termina en $78$, entonces $1n$ termina en $78$.
* Si $n$ termina en $98$, entonces $11n$ terminan en $78$.
QED.
