Prueba elemental de que $S^2$ no es localmente isométrica a $R^2$

Question

Quisiera hacer una prueba elemental de que la esfera unitaria $S^2$ (con la función distancia angular) no es localemente isométrica al plano con la distancia euclideana. Atención: hablo de distancias como espacios métricos, no de métricas Riemannianas.

El argumento casi lo tengo pero me falta un pedacito y quisiera su ayuda para completarlo. El argumento es el siguiente:

(1) Una isometría local $f:U\subset S^2\to V\subset R^2$ debe mandar círculos de radio $R>0$ y circunferencia L de la esfera en círculos de radio $R>0$ y circunferencia L en el plano.

(2) Un círculo de radio R en la esfera tiene circunferencia $L=2\pi sen(R)$ y un círculo de radio R en el plano tiene circunferencia $2\pi R$. Estas dos cantidades no son iguales si $R$ es pequeño, ergo $f$ en (1) no puede existir.

¿Cómo probamos (1)?

Answer 1

Si $f$ es la isomería local puedo pensar que $f$ esta definida en un disco abiero centrado en $p\in{S^2}$ de radio $R>0$.

Puedo suponer que $f(p)=(0,0)$. Para todo círculo esférico $C_r$ centrado en $p$ de radio $r$ con $0<r<R$. $f(C_r)$ es una curva de Jordan $\overline{C}_r$ en el plano y sus puntos so equidistantes del origen puesto que $f$ es una isometría local.

La curva $C$ es invariante por el gupo de rotaciones  en torno al origen $SO(2)$. Luego $\overline{C}_r$ es un círculo.

Comments

Gracias Alberto! Quizás es muy tonta la pregunta pero de lo que dices no me queda claro porqué la circunferencia de $C_r$ y $f(C_r)$ deben ser las mismas...

Answer 2

Esta no es realmente una respuesta, porque no digo como probar (1), eso ya lo explico Verjovsky. Pero que te parece este argumento para probar la afirmacion del titulo.

Supon que tienes una isometria local $f:U\subset S^2 \rightarrow V\subset \mathbb{R}^2$. Escoge un triangulito chiquito en $U$ con vertices $a,b,c$ (por ejemplo uno equilatero de lado $\epsilon$). Entonces $f(a),f(b),f(c)$ son vertices de un triangulo equilatero en $\mathbb{R}^2$ de lado $\epsilon$. Sea $m$ el punto medio de $a$ y $b$, por lo tanto, $f(m)$ es el punto medio de $f(a)$ y $f(b)$. Ahora tenemos que $d(f(m),f(c))=\frac{\sqrt{3}\epsilon}{2}$ pero $d(m,c) > \frac{\sqrt{3}\epsilon}{2}$.