Question

Dadas las raíces de dos polinomios $P$ y $Q$, ¿qué se puede decir de las raíces de la composición $P\circ Q$?

Answer 1

No se puede decir nada con la pregunta así como está.

Consideremos el anillo de polinomios $F_{p^n}[x]$, donde $F_{p^n}$ es un campo con $p^n$ elementos ($p$ un número primo). Sea $P(x)=x-1$ y $Q(x)=x^{p^n}-x$; todo elemento de $F_{p^n}$ es raíz de $Q(x)$ y 1 es la única raíz de $P(x)$, pero la composición $P\circ Q$ no tiene raíces.

Ahora, consideremos el anillo de polinomios $\mathbb{R}[x]$. todo polinomio no constante en este anillo determina una asignación suprayectiva $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ mediante la evaluación. Así, las raíces de la composición $P\circ Q$ de dos polinomios no constantes son los elementos del siguiente conjunto:

$$\bigcup_{r\in R}\overset{\leftarrow}{Q}[r],$$

donde $R$ es el conjunto de raíces de $P$. Si el cero no es raíz de $P$, entonces las raíces de $Q$ "no pintan".

Nota: el símbolo $\overset{\leftarrow}{Q}$ indica imagen inversa. Uso este símbolo para dejar el $^{-1}$ para la función inversa.

Comments

Tienes razón, considera la pregunta en $\mathbb{C}[X]$ y por simplificar ambos polinomios mónicos. En este contexto si existe una correspondencia entre las raíces de $P$ y $Q$ con las raíces de $P\circ Q$.

Answer 2

Ya con la aclaración de Carlos, supongamos que $\{r_1,\dots,r_m\}$ son las raíces de $P(x)$ y $\{s_1,\dots,s_n\}$ son las raíces de $Q(x)$, entonces tenemos las descomposiciones en factores lineales $$P(x)=(x-r_1)\cdots(x-r_m)$$ y $$Q(x)=(x-s_1)\cdots(x-s_n).$$ La composición $(P\circ Q)(x)$ se puede expresar de la siguiente manera: $(P\circ Q)(x)=\prod_{i=1}^{m}\left(\prod_{j=1}^{n}(x-s_j)-r_i\right)$. Luego, $t$ es raíz de $(P\circ Q)(x)$ si y solo si existe $i\in\{1,\dots,m\}$ tal que $\prod_{j=1}^{n}(t-s_j)=r_i$. Así, vemos que $t$ debe ser raíz de algún polinomio
\begin{eqnarray*}
R_i(x) &=& x^n+(-1)^1\sum_{j=1}^{n}s_jx^{n-1}+(-1)^2\sum_{1\leq j<k\leq n}s_js_kx^{n-2}+\\
 &&\cdots+(-1)^{n-1}\sum_{j=1}^{n}\prod_{k\not=j}s_kx+\prod_{j=1}^{n}s_j-r_i,
\end{eqnarray*}

donde $i\in\{1,\dots,m\}$.

P. D. No se bien si esto es lo que quieres, pero es a lo que llegué. Saludos _\m/