Duda en subgrupo del grupo simétrico

Question

Si tengo el grupo $S_n$ y $X\subset \{1,\ ... \ ,n\}$ con $|X|=k$, entonces las permutaciones $\sigma \in{S_n}$ tales $\sigma(X)=X$ es un subgrupo de $S_n$,  mi pregunta es ¿el orden de este subgrupo sería $k!$?,

Bueno esto lo veo así porque son las permutaciones que si nos restringimos al conjunto $X$ su imagen es el conjunto $X$ y deben ser biyecciones de $X$ en $X$ aunque no estoy seguro si sean todas.

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Si además, le pides que $\sigma(i)=i$ para todo $i\in\{1,\dots,n\}\backslash X$, entonces si tienes lo que deseas.

Answer 1

No en general. Contraejemplo: toma $n=5$ y $X=\{2,3\}$. Entonces, en este caso, el orden del subgrupo que mencionas sería $12$.

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En este ejemplo que pones veo que el orden sale así:

$k!(n-k)!$ donde $k!$ representaría las biyecciones de $X$ en $X$ y $(n-k)!$ las biyecciones del complemento de $X$.

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En efecto...

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Gracias José, tu contraejemplo me sirvio para verlo bien.

Answer 2

Como se menciona en los comentarios, el orden de dicho subgrupo es $k!(n-k)!$, ya que dicho subgrupo es de hecho isomorfo a $S_k\times S_{n-k}$. Para ver esto, sea $\sigma$ una permutación que fija a $X$ (es decir, tal que $\sigma(X)=X$).  Entonces la restricción $\sigma_1=\sigma\upharpoonright X$ es una permutación de $X$. Ahora el punto escabroso es darse cuenta de que, debido a que $\sigma(X)=X$, también es el caso que $\sigma(X^c)=X^c$ (donde denoto por $X^c$ al complemento de $X$ en $\{1,\ldots,n\}$), por lo cual $\sigma_2=\sigma\upharpoonright X^c$ es una permutación en $X^c$. Entonces cada $\sigma$ se escribe como un producto $\sigma_1\sigma_2$ de dos permutaciones con soporte disjunto, por lo que es fácil ver que la función $\sigma\longmapsto(\sigma_1,\sigma_2)$ es un isomorfismo de grupos del subgrupo en cuestión en el grupo $S_X\times S_{X^c}$.

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Excelente, gracias.