Duda en problema de polinomios

Question

Tengo una duda en lo que pide el problema

Dado un polinomio $\Phi(X_1,X_2,X_3):=a_0+a_1X_1+a_2X_2+a_3x_3+a_{11}X_1^2+a_{12}X_1X_2+a_{13}X_1X_3$

 $+a_{22}X_2^2+a_{23}X_2X_3+a_{33}X_3^2.$

 

Para cuales valores de los coeficientes de $\Phi(X_1,X_2,X_3)$ cumple que $\Phi(X_{\pi(1)},X_{\pi(2)},X_{\pi(3)} ) = \Phi(X_1,X_2,X_3)$ para todos $ \pi \in{S_3}$.

Que en relidad no se exactamente lo que pide espero me ayuden. Gracias.

Answer 1

$S_3$ actúa permutando variables en $K[X_1,X_2,X_3]$, es decir, si $\sigma\in S_3$ y $f(X_1,X_2,X_3)\in K[X_1,X_2,X_3]$, entonces $\sigma.f(X_1,X_2,X_3)=f(X_{\tau(1)},X_{\tau(2)},X_{\tau(3)})$; es decir, haces un cambio de variable de acuerdo a la permutación $\sigma$.

Por ejemplo, si $\tau=(12)$ y $f(X_1,X_2,X_3)=1+2X_1-X_2+3X_3$, entonces $\tau.f(X_1,X_2,X_3)=f(X_{\tau(1)},X_{\tau(2)},X_{\tau(3)})=1+2X_2-X_1+3X_3$.

Luego, el problema es que obtengas relaciones entre los coeficientes para que el polinomio sea "simétrico" o sea un punto fijo de la acción.

Comments

Algo asi como decir por ejemplo tendria que cunplir que $a_0=a_1$  por decirlo de esta manera.

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Si, pero el coeficiente constante no es afectado por la acción de $S_3$. Una de las relaciones que tendras es $a_1=a_2=a_3$ y esto lo obtienes al aplicar el cíclo $(123)$.

Creo que ya lo tienes.

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Si ya salio, gracias Enrique.