Probabilidad de formación de cónicas

Question

Un cono (doble) finito, de base circular "muy grande", es tal que sus generatrices hacen un ángulo de medida $ \alpha $ con su eje. Se traza un plano secante al cono (de inclinación 'aleatoria' respecto del eje de aquel). Encuentra la probabilidad de que la curva de intersección plano-cono sea, respectivamente:

* Circunferencia

* Elipse

* Parábola

* Hipérbola

Comments

Copio aqui mi comentario a otra de tus preguntas sobre probabilidades, explicando un poco por que Rodrigo Pérez dice que la pregunta asi no esta bien planteada.

Considera el siguiente problema: Dado un punto en el plano al azar, cual es la probabilidad de que el punto este en el medio plano superior $\{y>0\}$? Cualquiera con un poco de sentido comun diria que la probabilidad es $\frac{1}{2}$, aun cuando uno no tenga una medida de probabilidad canonica en el plano.

El problema es que la respuesta no siempre es tan clara como en este caso. En otros ejemplos un poco mas complicados, la probabilidad depende fuertemente en el mecanismo con el que se "escoge" el punto al azar, pero existen varios mecanismos que parecerian "naturales". Recomiendo que leas sobre la paradoja de Bertrand:

http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_paradox_(probability)

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Pues, yo comprendo la "preocupación" expresada por Rodrigo.

De todos modos, Carlos, Ud. comenta respecto de "la probabilidad de que el punto este en el medio plano superior {y>0}?", que "..Cualquiera con un poco de sentido comun diria que la probabilidad es 1/2, aun cuando uno no tenga una medida de probabilidad canonica en el plano."..
..y aunque concordamos en ello, aun así, me parece[, pues], que ambas situaciones dejan abierta la posibilidad de mecanismos "naturales" y otros "no tan naturales"; es un asunto discutible, claro.

Answer 1

Para simplificar, pongamos el eje del cono en el eje $z$, y el vértice en el origen. Como el cono tiene simetria rotacional, podemos proyectar cono y plano en la dirección perpendicular al eje y al vector normal del plano para obtener una figura bidimensional que consiste de una cruz (proyección del cono) y una linea recta $L$ (proyección del plano).

Si el cono fuera infinito, la cruz seria la intersección de dos rectas que forman un ángulo $\alpha$ y son simetricas respecto al eje $z$. Estas dos rectas forman ángulos $\pm(\pi-\alpha)/2$ con respecto al eje horizontal. En dicha situación la seccion conica depende exclusivamente del ángulo $\theta$ entre $L$ y el eje $z$, asi que tenemos 

1. Circulo: $\theta$ debe ser exactamente 0, por lo tanto probabilidad 0.
2. Elipse: $|\theta| < (\pi-\alpha)/2$ para que $L$ intersecte ambas rectas de la cruz (el plano entra y sale del cono). La probabilidad es $(\pi-\alpha)/2\pi$.
3. Parábola: $\theta$ debe ser exactamente $\pm(\pi-\alpha)/2$ para que $L$ sea paralela a una recta de la cruz (el plano es paralelo al costado del cono). La probabilidad es 0.
4. Hipérbola: $-(\pi-\alpha)/2 < \theta < (\pi-\alpha)/2$; i.e., el caso restante. La probabilidad es $(\pi+\alpha)/2\pi$.

Ahora bien, el problema requiere que el cono sea finito, y en ese caso el plano puede no intersectar al cono. Entonces la intersección depende no solo de $\theta$, sino también de que tan lejos están el plano y el cono y tenemos que el problema no esta bien definido pues no hay una manera canónica de escoger un plano "aleatorio". Esta es una situación similar a la que se da en esta otra pregunta.

Comments

Gracias, Rodrigo, por darse el tiempo en esta pregunta.

Comento que mi expresión "muy grande" (referida a la base circular del cono) procura evitar dificultades en la determinación de posibilidades para el plano.

** Sin embargo, el enunciado dice claramente "...Se traza un plano secante al cono", indicando que está ya planteada la intersección. **

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De todos modos, la idea expresada sobre los ángulos es acertada; solo algunos detalles, como que:
* "α" es la medida del ángulo entre cada generatriz y el eje; así, las rectas proyectadas, formarían un angulo que mide "2α".
** Creo que hubo una pequeña confusión respecto de los valores que debe tomar "θ" para cada caso [aunque la idea queda muy clara].

Answer 2

Buen día Michel.

Le comparto mi tutorial sobre las cónicas

Link:https://www.youtube.com/watch?v=7EPkTKBtFCQ

Espero sea de su agrado.

Germán.

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Gracias, Germán Valencia.