Subgrupos normales

Question

1) Sea $\rm G,G'$ grupos simples entonces ¿$\rm G\times{G'}$ es simple?.

2)  ¿Quienes son los subgrupos (propios)  normales de $\rm G\times{G}'$?

Answer 1

La primera pregunta es fácil de contestar. La respuesta es ¡NO! La inclusión de un factor es el núcleo de la proyección en el otro por lo que la imagen de una inclusión es un subgrupo normal. Este proceso nos da al menos dos subgrupos normales del producto de dos grupos.

En este momento no se me ocurre cómo encontrar todos los subgrupos normales del producto, pero por ejemplo, si tomas $G=\mathbb{Z}_p$ y $G^{\prime}=\mathbb{Z}_q$ con $p$ y $q$ números primos distintos, entonces $G$ y $G^{\prime}$ son simples y su producto es cíclico de orden $pq$. En cíclicos, existe un único subgrupo por cada divisor del orden del grupo y en grupos abelianos todos sus subgrupos son normales. Por tanto, aquí sólo hay cuatro subgrupos normales del producto: el trivial, el total y las inclusiones de los factores.

Comments

Complementando lo que dice Enrique, y respondiendo parcialmente la pregunta:

Para abelianos se prueba que todo subgrupo del producto es producto de subgrupos de los factores. Como los subgrupos normales coinciden con los subgrupos, esto nos da una caracterización de los subgrupos normales del producto en función de los subgrupos normales.

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No es del todo cierta tu conclusión, estimado Antonio. Por ejemplo, cuando $G$ es abeliano se puede probar que la diagonal $\Delta := \{(g,g):g\in G\}$ es un subgrupo normal de $G \times G$...

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Tienes razón José, me traicionó la memoria.

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Y por que no agregasen que los grupos son finitos y algo mas.