Cuerpo intermedio

Question

¿ Hay algún cuerpo intermedio entre $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{Q}(X)$?

Answer 1

Muchos, para cualquier función racional $f(X)$ se tiene que $\mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q}(f(X)) \subseteq\mathbb{Q}(X)$. Por ejemplo cuando $f(X)=X^2$ es claro que ambas contenciones son propias pues en el campo de en medio solo ocurren potencias partes de $X$.

La extensión $\mathbb{Q}(f(X)) : \mathbb{Q}$ es trascendente: si una función racional $f(X)=p(X)/q(X)$ fuera raíz de un polinomio racional $G$, al multiplicar la ecuación $G(p(X)/q(X))=0$ por una potencia suficientemente grande de $q(X)$, obtendríamos una ecuación polinomial que tiene a $X$ como raíz.

La extension $\mathbb{Q(X)} : \mathbb{Q}(f(X))$ es algebraica: si $Y:=f(X)=:p(X)/q(X)$ con $p(X)$ y $q(X)$ polinomios, entonces $X$ satisface la ecuación $p(X) - Y q(X) = 0$.

Resulta que de hecho todos los campos intermedios entre $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{Q}(X)$ son de la forma $\mathbb{Q}(f(X))$. Esto es el teorema de Luroth (y su análogo para funciones racionales en varias variables es falso). Si no mal recuerdo viene probado en el libro de Álgebra Moderna de van der Waerden.

Comments

Y todas esas extensiones son trascendentes verdad.

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Sí, son trascendentes: si una funcion racional $f(X)=p(X)/q(X)$ fuera raíz de un polinomio racional $G$, al multiplicar la ecuación $G(p(X)/q(X))=0$ por una potencia suficientemente grande de $q(X)$, obtendríamos una ecuación polinomial que tiene a $X$ como raíz.

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Gracias, por el tiempo y por la respuesta.