Números reales.

Question

En realidad tengo una duda respecto de lo siguiente.

1) $\mathbb{R}$ es un campo

2) tiene la propiedad del supremo.

3) $\alpha \in{\mathbb{R}}$ cumple que $\alpha=0$ ó $\alpha \in{\mathbb{R^+}}$ , ó $-\alpha \in{\mathbb{R^+}}$

4)  $\mathbb{R^+}$ cumplen que es cerrado respecto del producto y la suma.

 

¿Con estas 4 propiedades los numeros reales quedan determinados por completo (salvo isomorfismo) o podriamos quitar alguna de las 4 propiedades ó falta alguna mas.?

Answer 1

Un campo ordenado es un campo $(F,+,\cdot)$ de tal manera que $F$ tiene un subconjunto $P$ con las propiedades siguientes:

(1) Para cada $a \in F$ se satisface una y sólo una de las condiciones siguientes:

(i) $a=0$

(ii) $a \in P$

(iii) $-a \in P$.

(2) Si $a,b \in P$ entonces $a+b \in P$.

(3) Si $a,b \in P$ entonces $a\cdot b \in P$.

Las condiciones que pones dicen que $\mathbb{R}$ es un campo ordenado completo. Es un resultado clásico que $\mathbb{R}$ es, hasta isomorfismo de campos ordenados, el único campo ordenado completo. Esto indica que con las condiciones que pones basta para garantizar la unicidad. Que no hay condiciones superfluas puedes verlo eliminando alguna y analizar lo que sucede. Por ejemplo, si borras la condición en 2 entonces no tendrías unicidad pues tanto $\mathbb{Q}$ como $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ son campos ordenados pero no son isomorfos. Si borras las condiciones en 3 y 4 entonces, a menos que incluyas detalles adicionales, también tendrías que eliminar la condición 2 pues en general antes de hablar siquiera de cotas superiores tienes que especificar algún orden...

Comments

Y su quitamos la 3) y a 4) le quitamos que sea cerrado respecto de la suma y ponemos

si $y<z$ entonces  $x+y<x+z$ para todos $x,y,z$
¿son condiciones equivalentes?

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¿Qué no hace falta también la propiedad arquimediana?

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@lziro: Si con $a<b$ quieres decir  $b-a \in P$ entonces la "cerradura" de $P$ con respecto a la suma sí implica la condición que mencionas:

Dem. Si $y<z$ entonces $z-y \in P$. Puesto que para cada $x \in F$ se tiene que $z-y = (x+z) - (x+y)$, terminas. ∎

Al intentar probar la otra implicación se ve que faltaría agregar la condición siguiente (o una equivalente): si $x,y,z \in F$ son tales que $x<y$ y $y<z$ entonces $x<z$.

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@David: Me parece que la propiedad arquimediana es consecuencia de la propiedad del supremo.

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Si José efectivamente tenemos la condición que si $x<y, \ y<z \Rightarrow x<z$. Gracias.