¿Cuál es el área de A?

Question

Encuentre al área de A, con la ayuda de regla y compás, sabiendo que el área del cuadrado es 1 y que los arcos son arcos de circunferencia (de radio 1 y con centro en los vértices del cuadrado).

Comments

¿Encuentra el área con regla y compás? ¿Eso quiere decir construir con regla y compras un segmento cuya longitud era igual al área?

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Había escrito mal el problema. La idea es hallar el área de A, sin utilizar integrales ni ningún método sofisticado, si no sólo con la ayuda de regla y compás. Por ejemplo, se deduce "fácilmente" que el área de 3B+2C+A es $\pi /4$.

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Hace algunos años me lo preguntaron, y a esa persona que me lo preguntó, se los propuso su profesor de cálculo. El problema, además lleva una anécdota, y es que ese mismo profesor, por alguna razón, lo preguntó a unos chicos de la cárcel. Bueno, lo curioso del asunto es que uno de estos chicos de la cárcel dió una prueba muy sencilla, y qué además, ningún chico de la facultad (al menos hasta el momento que me contaron el problema) había logrado tal sencillez de la prueba.

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Ahora, yo no sé hasta qué punto es cierto esto, pero logré una prueba hace un par de años que no me parece muy sencilla. La mejor respuesta será aquella que nos  parezca la más sencilla.

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pero a que te refieres con "si no sólo con la ayuda de regla y compás"? Yo lo habia entendido como Omar, pero en tu ejemplo $\pi/4$ no lo podras construir asi.

Los cuatro arcos son de circunferencias del mismo radio? Tienen centro en los vertices del cuadrado?

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Gracias Carlos, ya he agregado estos datos a la pregunta, efectivamente, los arcos, son arcos de circunferencia de radio 1 y con centro en los vértices.

Ok, "con regla y compás" quiere decir que puedes extender los segmentos y puedes trazar más circunferencias y trazar más segmentos a partir de los puntos dados en las intersecciones. Además "sabes" que el área del cuadrado es 1 y el área de un círculo de radio 1 es $\pi$. Claro que puedes sumar áreas y restar áreas. Así puedes deducir que el área de 2C+B es $1-\pi /4$. Para hallar el área de A quizás necesites trazar otras cosas para poder deducirlo.

Gracias por sus comentarios.

Answer 1

Me parece que mi demostración es básica y no uso cosas sofisticadas, pero en términos de las áreas sólo uso la que Chris puso como ejemplo, y para mí difícilmente califica como "con regla y compás". A ver si les gusta.

Demos nombres a algunos puntos como en el dibujo de la izquierda.

Es claro que el triángulo $OYW$ es equilátero (2a figura), por lo que el ángulo $YOW$ es $\pi/3$ y el ángulo $XOY$ es $\pi/6$. Análogamente, el ángulo $ZOW$ es $\pi/6$.

Se sigue de aquí que los triángulos $XOY$, $YOZ$ y $ZOW$ son congruentes (son isósceles con dos lados de longitud 1 y ángulo $\pi/6$ entre ellos), y el área de cada uno de ellos es $1/4$ (la base del triángulo $ZOW$ es 1 y la altura es $1/2$).

Entonces el área en la 3a figura es $\pi/4 - 3/4 = (\pi - 3)/4$, y el área de cada una de las tres regiones grises de la 3a figura es $(\pi - 3)/12$.

Notemos que el área de la región $A$ es igual al área del cuadrado $\Box UVZY$ más 4 veces el área de una de las regiones grises de la 3a figura. El área del cuadrado $\Box UVZY$ es $\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2}$ (es fácil ver por ejemplo que los puntos $Y$ y $Z$ son respectivamente $(1/2,\sqrt{3}/2)$ y $(\sqrt{3}/2,1/2)$) y por tanto el área de la región $A$ es $\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2} + \frac{\pi -3}{3} = 1 + \frac{\pi}{3} - \sqrt{3}$.

Comments

Lo único que usas, Daniel, que no se cómo calcularlo con regla y compás es el área del círculo. ¿Tú ves algo más? ¿Por qué crees que tu prueba no califica como una respuesta con regla y compás? Leyendo la anécdota que comparte Chris te pregunto: ¿Haz estado en la cárcel? JAJAJAJAJA

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No he estado en la cárcel que yo recuerde y espero que así siga.
A mi entender, calcular áreas de cuadrados y triángulos como en la prueba no tiene que ver con regla y compás; se me hace rebuscado pensar que en el fondo sí se usa algo de regla y compás. Yo más bien diría que es al revez, y que en las construcciones con regla y compás se usan las fórmulas usuales de área para justificar las construcciones.