Problema de probabilidad

Question

A y B acuerdan encontrarse entre 3 y 4 de la tarde y tambien acuerdan que no esperaran al otro mas de 10 minutos. Determinar la probabilidad de que se enencuentren.

La respuesta segun el libro es 11/36, pero no llego a la solucion.

Answer 1

Supongamos que la hora a la que llegan $A$ y $B$ son escogidas con una distribucion uniforme entre $[0,1]$. Sea $x\in[0,1]$ el tiempo en el que llega $A$ y sea $y\in[0,1]$ el tiempo en el que llega $B$. Para que se encunetren tiene que suceder que $|x-y|\leq \frac{1}{6}$.

Si $0\leq x\leq \frac{1}{6}$ entonces tiene que pasar $0\leq y \leq x+ \frac{1}{6}$. Y la probabilidad que se encuentren dado que $x$ esta en este rango es $x+ \frac{1}{6}$.

Si $ \frac{1}{6}\leq x \leq  \frac{5}{6}$ entonces tiene que pasar $x- \frac{1}{6}\leq y \leq x+ \frac{1}{6}$. Y la probabilidad que se encuentren dado que $x$ esta en este rango es $\frac{2}{6}$.

Si $\frac{5}{6}\leq x \leq 1$ entonces tiene que pasar $x-\frac{1}{6}\leq y \leq 1$.  Y la probabilidad que se encuentren dado que $x$ esta en este rango es $\frac{7}{6}-x$.

Ahora solo tenemos que integrar estas probabilidades en el intervalo $[0,1]$ y terminamos. Es decir,

$$ P(|x-y|\leq \frac{1}{6})=\int_0^1 f(x)dx$$

donde $f(x)=x+ \frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{7}{6}-x$ dependiendo si $0\leq x\leq \frac{1}{6}$, $\frac{1}{6}\leq x \leq  \frac{5}{6}$ o $\frac{5}{6}\leq x \leq 1$.

Esta integral es facil de calcular y vemos que es igual a $\frac{11}{36}$.

Comments

Esta mal? o por que el voto negativo?

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El desarrollo y la respuesta dados son correctos. Quizás, el amigo Zedja [y/u otros] esperaba[n] un planteamiento más "didáctico" (con gráfico, etc.), como dirigido a un nivel muy básico.

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Muchas gracias por la respuesta. Por cierto yo no di el voto negativo...
Tu respuesta tiene cosas que aun no me han enseñado.

El maestro nos dio una solucion, segun el pero no me convencia su solucion:

Hora    A           B
3:00    1/60    11/60
3:01    1/60    12/60
3:02    1/60     13/60
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3:11   1/60      21/60
3:12    1/60     21/60
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3:51    1/60     20/60
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4:00   1/60      11/60

quedando el resultado como la suma de las multiplicacion de AB, A= probabilidad que llegue a esa hr y B=la probabilidad que llegue en los 10 min que tiene de margen para que lo espere. B varia de 11 a 21 porque, 10 son los que puede llegar despues que A, 1 que coincidan y otros 10 de que lleguen antes...

bueno el resultado de la suma de lo que el maestro nos dio es 23/72, que si bien es 11.5/72....

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Esa solucion es una aproximacion a la respuesta real. Sabes lo que es una integral? La suma que les dio su maestro es una aproximacion a la integral que escribo arriba. Si en lugar de intervalos de un minuto (3:00,3:01,...) consideras intervalos mas pequenos, por ejemplo de medio minuto (3:00,3:00:30, 3:01,...) y haces la misma suma entonces obtienes una mejor aproximacion. Asi puedes seguir haciendo los intervalos cada vez mas pequenos para obtener cada vez una mejor aproximacion. Al final en el "limite" lo que obtienes es el valor de la integral que escribi.

Por cierto en la solucion que les da el maestro, entre 3:00 y 4:00 hay 61 posibles valores y no 60. Asi que en realidad tendrias que escribir 1/61 en lugar de 1/60. Lo mismo con B: 11/61 en lugar de 11/60, etc.