Calcular la medida del ángulo ADB.

Question

Answer 1

Primeramente, tenemos:

$AB = AC$, por ángulos opuestos iguales en el triángulo $BAC$.

Dado: $BC = BD$, se desprende que ∠BDC ≅ ∠BCD ≅ 61º.

---

Ubicamos el punto $E$, de modo que se forme el triángulo equlátero $BEC$. Luego, el triángulo $BEC$ es equiángulo (60º), y así, ∠EBA ≅ ∠ACE ≅ ∠ECD ≅ 1º.

 

 

 

Observando las marcas en la figura, se concluye que los triángulos ABD, ABE, ACE son congruentes (caso conocido como $"lado-ángulo-lado"$).

$\Rightarrow$  ∠ADB ≅ ∠AEB ≅ ∠AEC ≅ x

$\therefore$ En el triángulo BEC: 2x = 60º   ⇒⇒   x = m∠ADB = 30º.

Answer 2

Primero dos observaciones triviales:

$\angle(BAC) = 62$ y $\angle(BDC)=61$.

Sea $M$ el punto en el segmento $BD$ tal que $\angle(BAM)=1$. Entonces $\angle(MAC)=61=\angle(MDC)$ y se sigue que $ADCM$ es un cuadrilatero ciclico. Por lo tanto $x=\angle(ACM)$.

Sea ahora $M'$ el punto dentro del triangulo $ABC$ tal que $\angle(M'AC)=\angle(M'CA)=1$. Entonces $\angle(MAM')=62-1-1=60$.

Como $AB=AC$ vemos que $MB=MA=M'A=M'C$ y por lo tanto $AMM'$ es un triangulo equilatero.

$BMM'C$ es entonces un trapecio isosceles con $BM=MM'=M'C$. De aqui vemos facilmente que

$\angle(MCB)=\angle(M'BC)=\angle(M'BM)=\angle(MBC)/2=58/2=29$.

Por lo tanto $x=\angle(ACM)=\angle(ACB)-\angle(MCB)=59-29=30$.

Comments

En el renglón 4: me parece que $X$ tiene que ser $M$.
En el renglón 6: $M'$ tiene que estar dentro del triángulo $ABC$.

---

Gracias. Primero le habia puesto $X$ al punto pero despues lo cambie por que $x$ es el angulo buscado.

---

Bien, Carlos! Efectivamente, $\mathbf{x=30º}$.