Operadores normales en dimension finita

Question

Si $T$ y $S$  son operadores normales sobre un espacio vectorial  $V$ con producto interno. Pruebe que si $TS$=$ST$, entoces $T+S$ y $TS$ son normales .

Comments

Se me ocurre una prueba muy bonita (segun yo verdad) que usa calculo funcional continuo y sirve de hecho para dimensión infinita pero creo que es demasiada fuerza bruta.

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Otro cañonazo seria usar el Teorema de Fuglede

Answer 1

Sea $V=E_1\oplus\dots E_k$ la descomposicion de $V$ en los espacios propios con respecto al operador normal $S$.

Como $S$ y $T$ conmutan, $T$ deja invariante cada uno de los espacios propios $E_i$.

La restriccion de $S+T$ al espacio $E_i$ es de la forma $\lambda_i Id + T_i$ con $T_i$ un operador normal sobre $E_i$. Se sigue que

$(\lambda_i Id + T_i)(\lambda_i Id + T_i)^*=|\lambda_i|^2 Id + \lambda T_i^* + \bar\lambda T_i + T_iT_i^* =$

$|\lambda_i|^2 Id + \lambda T_i^* + \bar\lambda T_i + T_i^*T_i =  (\lambda_i Id + T_i)^*(\lambda_i Id + T_i)$

Por lo tanto $S+T$ es normal.

La restriccion de $ST$ al espacio $E_i$ es de la forma $\lambda_i T_i$ con $T_i$ un operador normal sobre $E_i$. Y tenemos que $(\lambda_i T_i)(\lambda_i T_i)^*=|\lambda_i|^2T_iT_i^*=(\lambda_i T_i)^*(\lambda_i T_i)$. Por lo tanto $ST$ tambien es normal.