Función polinomial

Question

Sea $k$ un campo finito. Muestre que toda función $f:k^n\to k$ es polinomial.

Answer 1

Si $k$ tiene $q$ elementos, la función polinomial $1-x^{q-1}$ vale $1$ para $x=0$, y vale $0$ si $x \neq 0$. Por lo tanto, $$f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sum_{(a_1, a_2, \ldots, a_n) \in k^n} f(a_1, a_2, \ldots, a_n) \prod_{i=1}^n \left( 1 - (x_i - a_i)^{q-1} \right).$$

Comments

Omar, no sería $P(x_1,\ldots,x_n)$ en lugar de $f(x_1,\ldots,x_n)$, nada mas por notación.

---

La pregunta era sobre una función llamada $f$, no $P$. El punto es que esa fórmula expresa a $f$ como polinomio.

---

solo era cuestión mía, :( .