Divisores de cero

Question

¿Si A es una matriz de 2x2  con coeficientes en los reales y det(A)=0 entonces A es un divisor de cero?

Answer 1

Si te "agarras" una matriz $A$ no cero y no invertible en $M_2(\mathbb{R})$ entonces siempre le puedes encontrar solución (no trivial) al sistema de ecuaciones $AX=0$.

Así que si escoges la matriz $B=(X,0)$  obtienes $AB=0$ por lo que $A$ es divisor de cero.

Answer 2

Supongamos que $A=\left[\begin{smallmatrix}a & b\\c & d\end{smallmatrix}\right]$ y $\det A=0$, entonces los renglones de la matriz son vectores linealmente dependientes así como las columnas lo son.

Si $A=0$, entonces para cualquier matriz $B$, de dos por dos con entradas en los reales, se tiene $AB=0=BA$. Supongamos que $A\not=0$. Si existe $\lambda\in\mathbb{R}$ tal que $\lambda[a,b]=[c,d]$, entonces definimos $B=\left[\begin{smallmatrix}-\lambda & 1\\-\lambda & 1\end{smallmatrix}\right]$, entonces $BA=0$. Si existe $\mu\in\mathbb{R}$ tal que $\mu\left[\begin{smallmatrix}a\\c\end{smallmatrix}\right]=\left[\begin{smallmatrix}b\\d\end{smallmatrix}\right]$ y definimos $C=\left[\begin{smallmatrix}-\mu & -\mu\\\phantom{-}1 & \phantom{-}1\end{smallmatrix}\right]$, entonces $AC=0$.