Supongamos que $A=\left[\begin{smallmatrix}a & b\\c & d\end{smallmatrix}\right]$ y $\det A=0$, entonces los renglones de la matriz son vectores linealmente dependientes así como las columnas lo son.
Si $A=0$, entonces para cualquier matriz $B$, de dos por dos con entradas en los reales, se tiene $AB=0=BA$. Supongamos que $A\not=0$. Si existe $\lambda\in\mathbb{R}$ tal que $\lambda[a,b]=[c,d]$, entonces definimos $B=\left[\begin{smallmatrix}-\lambda & 1\\-\lambda & 1\end{smallmatrix}\right]$, entonces $BA=0$. Si existe $\mu\in\mathbb{R}$ tal que $\mu\left[\begin{smallmatrix}a\\c\end{smallmatrix}\right]=\left[\begin{smallmatrix}b\\d\end{smallmatrix}\right]$ y definimos $C=\left[\begin{smallmatrix}-\mu & -\mu\\\phantom{-}1 & \phantom{-}1\end{smallmatrix}\right]$, entonces $AC=0$.