Celularidad de $\omega_1$

Question

¿Cuál es la celularidad de $\omega_1$ con la topología del orden?

¿Cuáles son los ordinales límite de $\omega_1$? ¿Serán de la forma $\{\omega\cdot n:n\in\omega\}\cup\{\omega^n:n\in\omega\}$?

Recuerde que la celularidad de un espacio topológico es la máxima cardinalidad de una familia de abiertos no vacíos disjuntos dos a dos.

Un ordinal es límite si no es el sucesor de algún otro ordinal.

Answer 1

No sé si sea trampa que yo responda, pero ...

1) Los ordinales límite de $\omega_1$ pueden ser mucho más feos de lo que tú describes. Por ejemplo, está el ordinal conocido como $\varepsilon_0$, el cual se define así: considera la sucesión (definida por inducción) $\alpha_0=\omega$, $\alpha_{n+1}=\alpha_n^\omega$ (exponenciación ordinal, es decir, $\alpha_{n+1}=\sup_{k\in\omega}\alpha_n^k$), y luego $\varepsilon_0=\sup_{n\in\omega}\alpha_n$. Este cuate no se puede escribir en la forma $\omega\cdot n$ ni en la forma $\omega^n$ para $n\in\omega$, pues de hecho es mayor que todos éstos. Es un ordinal bastante curioso, pero hay muchísimos más como él.

2) En cuanto a la celularidad: $\omega_1$ tiene un titipuchal de puntos aislados (básicamente, cada ordinal sucesor es un punto aislado, pues $(\alpha,\alpha+2)=\{\alpha+1\}$ es un abierto básico para cada $\alpha$), más concretamente tiene $\omega_1$ de ellos, por lo cual es posible encontrar una familia de $\omega_1$ abiertos disjuntos a pares. Pero también se pueden encontrar familias más elaboradas, por ejemplo, la familia $\{(\omega\cdot\alpha,\omega\cdot(\alpha+1)]\big|\alpha<\omega_1\}$ cubre a todo $\omega_1$ y consta de puros abiertos básicos que son disjuntos por pares. Por lo tanto, en cualquier caso, la celularidad es $\omega_1$.

Comments

Gracias David; ya me imaginaba que la celularidad era más que numerable y lo que quería era calcular el número de ordinales límite de $\omega_1$. ¿Será a caso que tal conjunto de ordinales límite es numerable?

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El número de ordinales límite de $\omega_1$ es no numerable (por lo tanto hay $\omega_1$ de ellos). Para ver esto con claridad, imagínate cada ordinal como lo que es: el conjunto de ordinales menores a él, y recuerda que de esta manera el supremo de un conjunto $S$ de ordinales no es más que el ordinal $\bigcup_{\alpha\in S}\alpha$. Si tan sólo hubiera una cantidad numerable de ordinales límite, digamos $\alpha_n$, con $n<\omega$ (no necesariamente ordenados de manera creciente), entonces observa que el ordinal $\alpha=\sup_{n<\omega}\alpha_n=\bigcup_{n<\omega}\alpha_n$ es una unión numerable de conjuntos numerables (y por lo tanto numerable, es decir, que $\alpha<\omega_1$). Nótese que:
1) $\alpha$ es distinto de todos los $\alpha_n$ (pues dado cualquier $\alpha_n$, el ordinal $\alpha_n+\omega$ es otro ordinal límite numerable, por lo cual ha de ser igual a algún $\alpha_m$ y entonces $\alpha\geq\alpha_m>\alpha_n$), y
2) $\alpha$ es un ordinal límite (pues dado cualquier $\xi<\alpha$, como $\alpha=\sup_{n<\omega}\alpha_n$ entonces $\xi\leq\alpha_n$ para algún $n$, pero entonces repitiendo el mismo argumento de arriba, $\xi+1<\alpha_n+\omega=\alpha_m\leq\alpha$ para algún $m$).
Esto es una contradicción al hecho de que sólo había $\omega$ ordinales límite. (Esta demostración de la no-numerabilidad de ordinales límite en $\omega_1$ puede pensarse como un caso particular de la así llamada "paradoja de Burali-Forti".)

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Genial David! Yo sí pensaba que eran numerables, pero no me había puesto a razonarlo con detalle. Muchas Gracias Tío (Y)