Isometrías del Toro

Question

Mis estimados,

Estoy trabajando con el siguiente problema:

Considere $R : \mathbb{T}^3 \to \mathbb{T}^3$ una isometría, donde $\mathbb{T}^3$ es el toro $3$-dimensional, es decir, $\mathbb{R}^3 / \Lambda$ con $\Lambda$ un grupo generado por $3$ traslaciones linealmente independientes; $\mathbb{T}$ tiene la métrica cociente (en el sentido de distancia, supongo que también se puede hablar en el sentido Riemanniano, y probablemente sea lo mismo, pero lo ignoro).

Es conocido que $R$ se puede levantar a una función continua en $\mathbb{R}^3$, en virtud del teorema de levantamiento de funciones de espacios cubrientes. Mi pregunta es

 

¿Bajo qué condiciones (sobre $\Lambda$ o sobre $R$) este levantamiento es una isometría de $\mathbb{R}^3$?

 

Más que la respuesta como tal, agradecería si conocen material en el cual se hayan tratado esta clase de problemas.

Saludos y gracias de antemano.