Puntos de condensación en segundo numerables

Question

Recordemos que un punto $x$ es un punto de condensación para un conjunto $A$ en un espacio topológico $X$ si para toda vecindad $V$ de $x$ se tiene $|V\cap A|>\aleph_0$, donde $|\cdot|$ indica cardinalidad.

Supongamos que $X$ es un espacio segundo numerable y sea $A$ un subconjunto más que numerable de $X$. Si denotamos por ${\rm cond}(A)$ al conjunto de puntos de condensación de $A$, pruebe que $A\backslash{\rm cond}(A)$ es un conjunto a lo más numerable.

Comments

En donde dices que $|V\cap A|>\aleph_0$ se me hace que la desigualdad no es estricta (sólo quieres una infinidad de puntos, ahí estás diciendo que es una cantidad no numerable).

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Así es David. Los puntos de condensación cumplen con que intersectan en una cantidad no numerable al conjunto (el cual debe ser más que numerable). En el libro de Seebach y Steen (Counterexamples in Topology) usan el término $\omega$-acumulación para los puntos que cumplen con la condición que mencionas: que intersecten en una infinidad.

Answer 1

Como $X$ es segundo numerable, sea $\mathcal B$ una base numerable para su topología. Para cada $x\in A\setminus\mathrm{cond}(A)$ es posible elegir una vecindad $U_x\in\mathcal B$ con $x\in U_x$ y $|U_x\cap A|\leq\omega$. Si suponemos que $A\setminus\mathrm{cond}(A)$ es no numerable, entonces hay una cantidad no numerable de $x$ para tan sólo una cantidad numerable de posibles $U_x$ (pues $\mathcal B$ es numerable), por lo cual el principio de la pichonera nos dice que es posible elegir un conjunto no numerable $W\subseteq A\setminus\mathrm{cond}(A)$ y un $U\in\mathcal B$ tal que $(\forall x\in W)(U_x=U)$. Pero entonces $W\subseteq U\cap A$, lo que contradice que $U\cap A$ era supuestamente numerable.

Comments

Solo tengo una duda, ¿cuál es el principio de la pichonera?

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También se le conoce a veces como "principio de las casillas" (en inglés es el "pigeonhole principle"). La versión finita es muy conocida: si tienes $n+1$ pichones y los colocas en $n$ pichoneras, entonces alguna pichonera deberá tener al menos dos pichones. La versión infinita es: si $\kappa$ es un cardinal infinito, y colocamos más de $\kappa$ pichones en $\kappa$ pichoneras, entonces alguna de las pichoneras deberá contener más que $\kappa$ pichones. En este caso, a cada pichón $x\in A\setminus\mathrm{cond}(A)$ lo metemos en la pichonera $U_x\in\mathcal B$.

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Sí, fue lo que supuse pero mejor estar seguro. (Y)