Para una variedad casi-afin se tiene que $dim Y = dim \overline{Y}$

Question

En el libro "Algebraic Geometry" de Harsthorne la proposición 1.10 dice que para toda variedad casi-afin se tiene que

 $dim Y = dim \overline{Y}$

En la prueba toma una cadena maximal de cerrados irreducibles

$Z_0 \subset Z_1 \subset \cdots \subset Z_n$

y muestra que la cadena "cerrada"

$\overline{Z_0} \subset\overline{Z_1} \subset \cdots \subset \overline{Z_n}$

también es maximal en $\overline{Y}$.

Mi duda es ¿cómo asegurar que cualquier cadena maximal de cerrados irreducibles es de la misma longitud $n$?

Comments

No puedes asegurar tal cosa, es ampliamente probable que existan diversas cadenas maximales con distintas longitudes. Pero esto no importa, porque sólo te preocupa la máxima posible longitud. Por ello, lo que escribes acerca de la cadena "cerrada" únicamente te sirve para concluir que $\mathrm{dim}(Y)\leq\mathrm{dim}(\bar{Y})$. Para la otra desigualdad, tienes que argumentar por separado (aquí es donde Hartshorne mete alturas de ideales primos y cosas así). No sé si tu duda sea más bien respecto de este segundo argumento.

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Asi es, no me queda claro el argumento de las alturas de los ideales. Voy a checarlo.