Ejemplo de un espacio que no sea homomorfo a la unión disjunta de sus componentes

Question

Hola

Estoy resolviendo algunos problemas del libro de Geometría Diferencial de Spivak, y uno de ellos dice que probemos que todo espacio localmente conexo es homeomorfo a la unión disjunta de sus componentes. Esto me despierta varias inquietudes:

a) ¿Existen espacios que no sean resultado de la unión disjunta de sus componentes, independientemente de si son localmente conexos o no?

b)Si lo entiendo bien, un espacio localmente conexo ES la unión disjunta de sus componentes, ¿por qué darle la vuelta diciendo que son HOMEOMORFOS A?

A lo mejor mis preguntas son algo básicas, pero espero que alguien pueda resolver mis dudas.

Answer 1

a) $\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$, sus componentes conexas son los puntos, por lo tanto la union disjunta de sus componentes es $\cong\mathbb{Z}$.

El punto es que en la union disjunta $Y$ de espacios topologicos $X_i$ cada $X_i$ es abierto en $Y$, pero las componentes conexas no siempre son abiertas. Una condicion bajo la cual si lo son es precisamente que el espacio sea localmente conexo.

 

b) creo que esto es mas bien formalismo. Si $X_i\subset Y$ son conjuntos disjuntos que cubren $Y$, entonces $Y$ y $\coprod X_i$ (union disjunta) son formalmente diferentes espacios, pero por supuesto tenemos una identificaion canonica de estos dos espacios $\coprod X_i \rightarrow Y$. Ademas desde el punto de vista topologico, como ya vimos en a) la topologia en $ \coprod X_i$ como union disjunta es diferente a la topologia de $Y$.

Comments

A ver, pero ¿qué tiene de malo que la unión desjunta de sus componentes sea $\cong\mathbb{Z}$?

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Que los enteros y los racionales no son homeomorfos con la topología inducida de los reales