Grupos numerables y grupos con dos generadores.

Question

Hace un ratito alguien me dijo que todo grupo numerable es isomorfo a un subgrupo de un grupo generado por dos elementos.

¿Alguna referencia para este resultado?

Más precisamente, me gustaría saber cómo el grupo libre en tres generadores se puede ver como un subgrupo de un grupo generado por dos elementos (asumiendo que lo que me dijeron es cierto...)

Answer 1

Observa que $H= \langle b^{-r}ab^r : r \in \mathbb{Z}\rangle$ es un subgrupo de $F_2=\langle a, b \rangle$ que es isomorfo a $F_{\aleph_0}$.

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No se me hace obvio que esos generadores que diste son independientes. Tal vez la forma más fácil de probarlo sea dibujando un espacio cubriente adecuado del espacio "ocho" (dos círculos pegados por un punto).

Answer 2

Considera el grupo libre generado por $x$ y $y$ y sea $H=\left<x^2,xy,y^2\right>$. Es claro que los generadores no tienen relaciones entre sí; luego, el Teorema de Nielsen-Schreier nos dice que todo subgrupo de un libre es libre. Así, $H$ es isomorfo al grupo libre de tres generadores

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¿Para qué mencionas el teorema de Nielsen-Schreier? Si te parece claro que esos generadores no tienen relaciones entre sí, pues ya generan un grupo libre y no necesitas el teorema. Por otra parte, el teorema no prueba que no haya relaciones entre esos generadores, así que si no te parece claro que no las hay, tampoco sirve citar el teorema.

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Tienes razón. Lo que quise verificar es que $H$ no puede tener menos de 3 generadores.

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No se me hace totalmente obvio a mi que no hay relaciones entre $x^2$, $xy$ y $y^2$. Tal vez la manera más simple de probarlo es dibujar el espacio cubriente adecuado del espacio "ocho" (dos círculos pegados por un punto). (Siempre se me hace más fácil trabajar con grupos libres a través de espacios cubrientes, pero eso puede ser deformación profesional. :)

Answer 3

Que todo grupo numerable es subgrupo de un grupo con dos generadores se probó aquí:

G. Higman, B.H. Neumann and H. Neumann, 'Embedding theorems for groups', J. London Math. Soc. 24 (1949), 247-254

Tanto UsuarioX como Enrique te dieron listas correctas de generadores para subgrupos libres de $F_2$ con más de dos generadores independientes. Pero queda la pregunta, ¿cómo sabe uno que esos generadores realmente no tienen relaciones entre ellos? Me imagino que se puede probar directamente con argumentos combinatorios, pero siempre me ha parecido más fácil tratar grupos libres a través de la teoría de espacios cubrientes.

Sea $X$ el espacio con forma de "ocho", o sea, dos círculos pegados por un punto. Su grupo fundamental es $F_2$, el grupo libre con dos generadores (puedes tomar como generadores lazos que le den una vuelta a uno de los círculos). Cada vez que dibujas un espacio cubriente de este espacio, su grupo fundamental es un subgrupo de $F_2$. Por ejemplo, para obtener el ejemplo de Enrique, puedes usar este espacio cubriente (perdona lo malo del dibujo):

Aquí los círculos rosas realmente deberían ser solo un punto, y las flechas  solo sirven para orientar esos segmentos curvos, o sea, este espacio realmente consiste de cuatro intervalos unidos por los extremos. Puedes definir una función de este espacio $Y$ al espacio ocho, $X$, que mande ambos puntos rosas al punto central de $X$ (donde están unidos los círculos) y que mande las dos flechas del lado izquierdo a un círculo $x$ (usando la dirección de la flecha para saber en qué sentido recorrer el círculo) y las dos flechas del lado derecho al otro círculo $y$. El grupo fundamental de $Y$ es el grupo libre en tres generadores (pues, por ejemplo, contraer una de las cuatro flechas produce un racimo de 3 círculos pegados por un puntos), de hecho podemos tomar como generadores los 3 lazos que rodean las tres áreas blancas visibles entre pares consectuivos de flechas. El primer generador corresponde a $x^2$, el de enmedio (que usa una flecha que va al primer círculo y una que va al segundo) a $xy$ y el tercer generador a $y^2$.

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Gracias por la referencia y la respuesta Omar. Ya me quedó claro :O)