Máximo número de conjuntos obtenibles usando complemento, interior y cerradura.

Question

Esta pregunta es la última del segundo capítulo del libro Análisis Clásico Elemental, de Jerrold Madsen

Dado un conjunto $A$ en un espacio métrico $M$, ¿cuál es el número máximo de subconjuntos que se pueden obtener mediante la aplicación sucesiva de las operaciones de cerradura, interior y complemento al conjunto $A$ (en cualquier orden)? Proporcionar un ejemplo de un conjunto que alcance dicho máximo.

Yo tengo un ejemplo que usa 7 operaciones sucesivas: $M=\mathbb{R}$, $A=[0,1)\cup(1,2]\cup\{3\}$, usando complemento y cerradura de manera alternada hasta llegar a las 7 operaciones.

¿Será 7 el máximo? ¿Puede alguien encontrar un ejemplo de un conjunto al que le podamos aplicar más operaciones sin repetir subconjuntos?

Answer 1

Hice un diagrama y me parece que ya sale la respuesta:

$$
\xymatrix{
   &  &  &  & int(cl(cl(A)^c))\\
   &  &  & cl(cl(A)^c)\ar[ru] &   \\
   &  & cl(A)^c \ar[ru]&  &   \\
   &  cl(A)\ar[ru]\ar[r]&int(cl(A)) \ar[r] &cl(int(cl(A))) &   \\
   A \ar[ru]\ar[r]\ar[rd]& int(A)\ar[r]\ar[rd] & int(A)^c \ar[r]&int(int(A)^c) \ar[r]& cl(int(int(A)^c))  \\
   &  A^c& cl(int(A))\ar[r] & int(cl(int(A))) &   \\
}
$$

Usando las siguientes identidades $cl(int(cl(int(A))))=cl(int(A))$, $int(cl(int(cl(A))))=int(cl(A))$, $int(A^c)=cl(A)^c$, $cl(A^c)=int(A)^c$, $int(int(A))=int(A)$, $cl(cl(A))=cl(A)$ podemos ver que cada punta de una rama al aplicar una operacion cualquiera de las descritas obtendremos nuevamente uno delos conjuntos ya obtenidos. En particular  para el conjunto dado en el enunciado podemos formar la siguiente secuencia usando el diagrama anterior:

$A\to A^c\to cl(A^c)=int(A)^c\to int(A)\to cl(int(A))\to cl(int(A))^c=int(int(A)^c)$

$\to cl(int(int(A)^c))\to cl(int(int(A)^c))^c=int(cl(int(A)))$

donde estabiliza la secuencia.

Comments

mmm no salio mi diagrama, copienlo en un archivo latex y se verá mejor.

Answer 2

Mira este link:

http://gaussianos.com/el-teorema-clausura-complemento-de-kuratowski/

No te lo resuelve del todo pero te va a dar muy buenas ideas.