Voy a dar mi respuesta como lógico y conjuntólogo que soy, a ver si convence. Los números reales se pueden pensar de muchas formas. La primera y más inmediata, un número real es una clase de equivalencia entre sucesiones de Cauchy con términos racionales. Pero a veces, lo que nos interesa es únicamente hablar de la recta real en términos de su cardinalidad, por lo cual la frase "los números reales" puede denotar cualquier conjunto cuya cardinalidad sea la del continuo (es muy frecuente entre conjuntólogos decir "sea $X$ un real", cuando en realidad estamos pensando "sea $X\subseteq\mathbb N$").
En otras ocasiones, no sólo estamos interesados en el conjunto de números reales en términos de su cardinalidad, sino que también nos interesa su topología, pero se nos dificulta estudiarlos si los pensamos como expansiones decimales. En este caso, hay dos opciones: fijarnos únicamente en los números irracionales (al cabo los racionales son un conjunto numerable), con la topología heredada, en cuyo caso el espacio resultante es homeomorfo a $\mathbb N^{\mathbb N}$ (hay mucha gente que llama a los elementos del espacio de Baire $\mathbb N^{\mathbb N}$ "the logician's reals", los reales de los lógicos); y la otra opción es fijarnos en todos los reales que no sean racionales diádicos (al cabo estos últimos tan sólo son un conjunto numerable), en cuyo caso obtenemos un espacio homeomorfo a $2^{\mathbb N}$, que a su vez es homomorfo al conjunto de Cantor (también es muy frecuente entre conjuntólogos decir "sea $f$ un real", cuando en realidad estamos pensando en $f$ como un elemento del espacio de Cantor $2^{\mathbb N}$, es decir, una sucesión infinita de $0$s y $1$s).
Los reales no son absolutos: si $V$ es el universo de la teoría de conjuntos, es posible pasar a un subuniverso $W\subseteq V$ que satisfaga todos los axiomas de teoría de conjuntos, pero con menos reales que $V$ (es decir, que $\mathbb R\cap W\subsetneq\mathbb R\cap V$). Recíprocamente, si extendemos nuestro universo de conjuntos $V$ mediante la técnica del forzamiento, para obtener $V[G]$, típicamente nuestro "universo extendido" contendrá muchos reales nuevos, que originalmente no existían. En resumen, desde el punto de vista del conjuntólogo, pocos conceptos pueden ser más flexibles y maleables que el de un número real.
