Hola:
Sólo observa que $(1, 0) \times (0, 1) = (0, 0)$, pero ninguno de ellos es el elemento cero.
El problema con la "prueba" de que $(a, b)(c, d) = (0, 0)$ es que si $ac = 0$ y $bd = 0$, solo sabes que alguno de $a$ y $c$ es cero, y lo mismo con $b$ y $d$, pero no puedes asegurar que los ceros corresponden a las entradas de la misma pareja.