Primos de la forma 4k+1

Question

Demuestre que existen infinitos primos de la forma $4k+1.$

Hola, se puede usar el razonamiento de reducción al absurdo? Y en ese caso, ¿cuál sería el planteamiento?

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Es un corolario del teorema de dirichlet.

Answer 1

En general se puede mostrar que $x^2\equiv-1\pmod p$ tiene solución si y sólo si $p\equiv1\pmod4$ (con $p$ un primo impar). Ahora utilicemos ese hecho. Supón que $p_1,p_2,\ldots,p_n$ es una lista de primos de la forma $4k+1$ y define $N:=(2p_1\cdots p_n)^2+1.$ Luego $N$ es impar y no es divisible por ningún $p_i.$ Por la aclaración del inicio se sigue que cualquier factor primo de $N$ es de la forma $4k+1.$ Esto significa que existe un primo $p\mid N$ tal que $p\equiv1\pmod4$ y $p\neq p_i$ para todo $i.$ Por lo tanto ninguna lista finita de primos de la forma $4k+1$  estará completa y se sigue que existe un número infinito de primos de la forma $4k+1.$

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Muchas Gracias Carlos, entonces la contradicción se tiene porque $p\ne p_i$ cuando $p\equiv 1\pmod 4$?

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Exactamente, significa que siempre que tomes una lista finita de primos de la forma $4k+1,$ cualquiera que sea ésta, siempre podrás hallar un primo de la forma $4k+1$ que no esté en esa lista.

Answer 2

Sí se puede proceder por reductio, pero es menester que sepas un poco sobre restos cuadráticos. Principalmente, tienes que recordar que $-1$ es resto cuadrático de todos los primos que son congruentes con $1 \pmod{4}$ y resto no cuadrático de todos los primos que son congruentes con $3 \pmod{4}$ (para leer una demostración de este conocido resultado, puedes ir a esta entrada de Apuntes Misceláneos: http://elr3to.blogspot.mx/2012/03/atando-cabos.html). Una vez que tienes ese dato en la mano, la demostración que requieres es como sigue (como quieres que sea por reducción al absurdo, la redactaré de esa manera):

Supongamos que sólo hay un número finito de primos de la forma $4k+1$: $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{k}$. Considera a continuación el número

$N = 4(p_{1} \cdots p_{k})^{2}+1.$

Ese número, al ser mayor que $1$ y no ser divisible ni por $2$ ni por ninguno de los primos $p_{i}$, tiene necesariamente (al menos) un divisor primo $q$ que es congruente con $3 \pmod{4}$. De esto se sigue que $-1$ es resto cuadrático módulo $q$, lo cual es absurdo (pues $q$ es congruente con $3 \pmod{4}$).

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Hola, muchas gracias por la ayuda. Pero hay cierto paso que no logro entender. Es cuando dices que $N$ debe tener un divisor primo $q$ de la forma $3\pmod 4$, y luego $-1$ es un resto cuadrático módulo $q$?

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Todo número natural mayor que $1$ es divisible por algún número primo. Los primos impares son congruentes con $1$ o $3$ módulo $4$. El número $N$ que se ha considerado es impar y, por consiguiente, sólo puede ser divisible por primos impares. Como ningún primo congruente con $1 \pmod{4}$ lo divide, entonces $N$ tiene que ser divisible por al menos un primo $q$ congruente con $3 \pmod{4}$.

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$q|N$ implica que $4(p_{1} \cdots p_{k})^{2} + 1 \equiv 0 \pmod{q}$. Luego, $4(p_{1} \cdots p_{k})^{2} \equiv -1 \pmod{4}$, lo que indica que $-1$ es resto cuadrático módulo $q$.