Un ejemplo de dos espacios topológicos distintos pero muy muy parecidos.

Question

Esta pregunta me surgió en un curso de topología y nunca la contesté. Sospecho que debe haber un ejemplo bien conocido, pero no se me ha ocurrido.

Lo que busco es un ejemplo de dos espacios topológicos $X$ y $Y$ tales que existan $f:X\to Y$ y $g:Y\to X$ continuas y biyectivas, pero $X$ y $Y$ no sean homeomorfos.

Answer 1

$X$ y $Y$ van a ser dos topologías sobre $\mathbb Z$.

Los abiertos de $X$ van a ser los conjuntos de la forma $\{x|x\geq z\}$ con $z\in \mathbb Z^+$.  Junto con el vacío y $\mathbb Z$. Los abiertos de $Y$ van a ser los conjuntos de la forma $\{x|x\geq z\}$ con $z\in \mathbb Z^+$ y $z\neq2$. Junto con $\mathbb Z$ y el vacío.

Es claro que de $X$ a $Y$ la identidad es continua.

De $Y$ a $X$ tenemos $g:x\rightarrow x-2$.

Para ver que no son homeomorfos notemos que $X$ solo tiene un elemento que pertenece a exactamente dos abiertos ($1$). Mientras que $X$ tiene $2$ ($1,2$).

Comments

Nota: no se me ocurrió a mi, en algún momento lo vi en algún lado.

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No entendí bien. Cuando defines $f $ ¿Usas dos topologías distintas en $\mathbb {R} $? ¿o usas la topología nueva nada más?

Si usas distintas entonces hace falta una bifurcación continúa de regreso (para que tu función sea continua seríndice necesaria la topología usual en el condominio y la nueva en el dominio). El caso de los reales con la topología usual y la nueva que defines no puede funcionar porque uno es conexos y el otro no.

Lo que quiero son dos espacios distintos pero que haya biyecciones continuas de cada uno al otro. Si estos son iguales no hay mucho chiste.

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A ya, quieres que no sean homeomorfos, perdón, pensé que querías que no fueran homeomorfismos.

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Listo, ya lo cambié, ahora debería ser un ejemplo de lo que quieres.